快速的素数算法(LogN的复杂度哦)---------1
2012-07-30 14:29
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如果要写一个素数算法,我想大家第一反应会是如下的代码:
这个代码的正确性肯定是不需要否定的,但是,我们根据数学中的唯一分解定理可以推出,如果一个数N不是素数,那么一定存在x使得x|N(注意'|'读作整除),那么知道x和N/x都是N的约数,自然的有min(x, N/x)<= 根号(N)。所以这个代码可以往下优化如下的代码:
这个代码基本上是大家都写的代码,其正确性也是勿用质疑的。然后,这个程序仍然不是最简的,事实上,有个基本概率的算法叫做Miller-Rabin算法,其复杂度是O(LogN),下面我将介绍Miller-Rabin算法需要的相应的知识,并且在最后给出Miller-Rabin算法的思想(代码很简单)
先给出Miller-Rabin算法所地需要的数学知识:
(1),约数定
(2),Euler定理
设X是一个自然数,并且a是一个与其互素的数,则有
(3),Lagrange子群定理
如果群A是B的子群,则|A| | |B|(A的势整除B的势,可以简单地理解为A的元素个数整除B的元素个数)
先给出这三个要用到的东西,下一节中将给出相关的证明。
bool IsPrime(unsigned uValue){ for(unsigned int i= 2; i< uValue; ++i){ if(uValue%i== 0){ return false; } } return true; }
这个代码的正确性肯定是不需要否定的,但是,我们根据数学中的唯一分解定理可以推出,如果一个数N不是素数,那么一定存在x使得x|N(注意'|'读作整除),那么知道x和N/x都是N的约数,自然的有min(x, N/x)<= 根号(N)。所以这个代码可以往下优化如下的代码:
bool IsPrime(unsigned uValue){ unsigned int uMax= sqrt(uValue); //在math.h里面声明了 for(unsigned int i= 2; i<= uMax; ++i){ if(uValue%i== 0){ return false; } } return true; }
这个代码基本上是大家都写的代码,其正确性也是勿用质疑的。然后,这个程序仍然不是最简的,事实上,有个基本概率的算法叫做Miller-Rabin算法,其复杂度是O(LogN),下面我将介绍Miller-Rabin算法需要的相应的知识,并且在最后给出Miller-Rabin算法的思想(代码很简单)
先给出Miller-Rabin算法所地需要的数学知识:
(1),约数定
(2),Euler定理
设X是一个自然数,并且a是一个与其互素的数,则有
(3),Lagrange子群定理
如果群A是B的子群,则|A| | |B|(A的势整除B的势,可以简单地理解为A的元素个数整除B的元素个数)
先给出这三个要用到的东西,下一节中将给出相关的证明。
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