算法导论 CLRS 23.1-8 解答

假设最小生成树T和T'按照权重排序后的边为(e0, e1, ..)和(e0', e1', ....), 引入记号Ei和Ei'，分别为T和T'的第0到第i条边的集合

假设ek和ek'为第一对不是同一条边的位置，假设ek为边(u, v), ek'为(u', v')

证明第一部分：

在T'中必然有一条u--->v的路径，记为P'(u,v)：

　　1. P'(u,v)不可能只包含Ek-1'中的边：因为k为第一对不同的边故Ek-1 = Ek-1'，如果u--->v只有Ek-1'的边则在T中形成环路

2. 假设边ej'为{P'(u,v)-Ek-1'}中一条，则weight(ej')<=weight(ek) [注：反证法证明，略], 且j>=k，由递增可知weight(ek')<=weight(ej')，故weight(ek')<=weight(ek)

结论1： 对称的可以推到weight(ek)<=weight(ek'), 因此ek和ek'的权重必然相等；

结论2： 任取边e'属于{P'(u,v)-Ek-1'}, weight(e’)=weight(ek)=weight(ek')

证明第二部分：

1. 如果T'中也有ek，则在T'中交换ek和ek'

2. 如果T'中不包含ek, 可以将{P'(u,v)-Ek-1'}中任意一条替换为为ek, 然后按照1交换