2011-10-10 20:14 HDU 4021 (15数码)
2012-07-25 22:23
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题意:给出一个board,上面有24个位置,其中23个位置上放置了标有数字1~23的方块,一个为空位(用数字0表示),现在可以把空位与它旁边的方块交换,给出board的起始状态,问是否可以达到指定的状态。
思路:看起来很像著名的“八数码”问题,首先,针对八个特殊位置(死角),如果这里有空位就把它和相邻的位置交换,这样之后如果两个状态的对应死角上的数字不同,那么显然是不能达到指定状态的,因为无法把死角处的数字换出去。
搞定了死角后就只剩下4×4的board了,这就变成了八数码问题的拓展——15数码。首先想想八数码是如何判断有解的:首先把所有数字(不包括空位的0)写成一行,就得到了一个1~8的排列,考虑空位的交换情况:1.左右交换,2.上下交换。对于左右交换而言,是不会改变写出的排列的逆序数的;而对上下交换,相当于在排列中向前或向后跳了两个位置,那么要么两个数都比它大或小,这样逆序数加2或减2,要么两个数一个比它大一个比它小,这样逆序数不变,综上,对于八数码问题,操作不会改变逆序数的奇偶性,所以只有初始状态和指定状态的逆序数奇偶性相同就有解。
弄清楚了八数码,扩展起来就容易了,现在我们将其扩展到N维(即N*N的board,N*N-1数码问题)。
首先无论N的奇偶,左右交换不改变逆序数,N为奇数时:上下交换逆序数增加N-1或减少N-1或不变,因为N为奇数,所以逆序数奇偶性不变;而N为偶数时:上下交换一次奇偶性改变一次。
结论:N为奇数时,初始状态与指定状态逆序数奇偶性相同即有解;N为偶数时,先计算出从初始状态到指定状态,空位要移动的行数m,如果初始状态的逆序数加上m与指定状态的逆序数奇偶性相同,则有解。
好了,现在这道题就简单了,计算逆序数和空格要移动的行数即可。
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思路:看起来很像著名的“八数码”问题,首先,针对八个特殊位置(死角),如果这里有空位就把它和相邻的位置交换,这样之后如果两个状态的对应死角上的数字不同,那么显然是不能达到指定状态的,因为无法把死角处的数字换出去。
搞定了死角后就只剩下4×4的board了,这就变成了八数码问题的拓展——15数码。首先想想八数码是如何判断有解的:首先把所有数字(不包括空位的0)写成一行,就得到了一个1~8的排列,考虑空位的交换情况:1.左右交换,2.上下交换。对于左右交换而言,是不会改变写出的排列的逆序数的;而对上下交换,相当于在排列中向前或向后跳了两个位置,那么要么两个数都比它大或小,这样逆序数加2或减2,要么两个数一个比它大一个比它小,这样逆序数不变,综上,对于八数码问题,操作不会改变逆序数的奇偶性,所以只有初始状态和指定状态的逆序数奇偶性相同就有解。
弄清楚了八数码,扩展起来就容易了,现在我们将其扩展到N维(即N*N的board,N*N-1数码问题)。
首先无论N的奇偶,左右交换不改变逆序数,N为奇数时:上下交换逆序数增加N-1或减少N-1或不变,因为N为奇数,所以逆序数奇偶性不变;而N为偶数时:上下交换一次奇偶性改变一次。
结论:N为奇数时,初始状态与指定状态逆序数奇偶性相同即有解;N为偶数时,先计算出从初始状态到指定状态,空位要移动的行数m,如果初始状态的逆序数加上m与指定状态的逆序数奇偶性相同,则有解。
好了,现在这道题就简单了,计算逆序数和空格要移动的行数即可。
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#include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> #define abs(x) ((x)>0?(x):-(x)) using namespace std; const int pos[]={0,1,2,7,16,21,22,23}; int f[24]; int a[24],b[24],c[16],d[16]; void init(void) { f[0]=f[2]=3; f[1]=f[7]=6; f[16]=f[22]=17; f[21]=f[23]=20; } int main(void) { init(); int t; scanf("%d",&t); while(t--) { for(int i=0;i<24;i++) scanf("%d",a+i); for(int i=0;i<24;i++) scanf("%d",b+i); for(int i=0;i<8;i++) { if(a[pos[i]]==0) swap(a[pos[i]],a[f[pos[i]]]); if(b[pos[i]]==0) swap(b[pos[i]],b[f[pos[i]]]); } bool flag=0; for(int i=0;i<8;i++) { if(a[pos[i]]!=b[pos[i]]) { flag=1; break; } } if(flag) { puts("Y"); continue; } int num1=0,num2=0; for(int i=0,j;i<24;i++) { bool f1=0; for(j=0;j<8;j++) if(i==pos[j]) f1=1; if(f1) continue; c[num1++]=a[i]; d[num2++]=b[i]; } int pos1=-1,pos2=-1; int cnt1=0,cnt2=0; for(int i=1;i<16;i++) { if(c[i]==0) pos1=i; else { for(int j=0;j<i;j++) if(c[i]<c[j]) cnt1++; } } for(int i=1;i<16;i++) { if(d[i]==0) pos2=i; else { for(int j=0;j<i;j++) if(d[i]<d[j]) cnt2++; } } int diff=abs(pos1/4-pos2/4); if(abs(diff+cnt1-cnt2)%2==0) puts("N"); else puts("Y"); } return 0; }
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