一步一步复习数据结构和算法基础-斐波那契查找法

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/*斐波那契查找法，前提是线性表必须有序,时间复杂度是O(logn)*/

#include<iostream>

const int MAXSIZE = 20;

int Fibonacci_Search(int *a, int n, int key);

/*用非递归法构造一个斐波那契数组*/

void Fibonacci(int *f)

{

f[0] = 1;

f[1] = 1;

for(int i=2; i<MAXSIZE; i++)

{

f[i] = f[i-1] + f[i-2];

}

}

int main()

{

int array[] = {0,16,24,35,47,59,62,73,88,99};

int number = Fibonacci_Search(array, sizeof(array)/sizeof(int), 73);

std::cout<<"位置是：array["<<number<<"]\n";

return 0;

}

/*定义斐波那契查找法*/

int Fibonacci_Search(int *a, int n, int key)

{

int low, high, mid, i, k;

int F[MAXSIZE];

Fibonacci(F); //构造一个斐波那契数组F

low = 1; //最低下标记录为首位

high = n; //最高下标记录为末位

k = 0;

while(n > F[k]-1) //计算n位于斐波那契数列的位置

{

k++;

}

for(i=n; i<F[k]-1; i++) //将a的元素扩展到(某斐波那契数 - 1)，即F[k]-1

{

a[i] = a
;

}

while(low <= high)

{

mid = low + F[k-1] - 1; //计算当前分割的下标

if(key < a[mid])

{

high = mid - 1;

k -= 1;

}

else if(key > a[mid])

{

low = mid + 1;

k -= 2;

}

else

{

if(mid <= n)

return mid; //若相当则说明mid即为查找到的位置

else

return n; //若mid>n则说明是扩展的数值，返回n

}

}

return -1;

}

首先要明确：如果一个有序表的元素个数为n,并且n正好是（某个斐波那契数 - 1），即n=F[k]-1时，才能用斐波那契查找法。 如果有序表的元素个n不等于（某个斐波那契数 - 1），即n≠F[k]-1，这时必须要将有序表的元素扩展到大于n的那个斐波那契数 - 1才行，这段代码：

[cpp]view
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for (int i = n; i < F[k] - 1; i++)

{

a[i] = a
;

}

便是这个作用。

数组a的长度其实很好估算，比如你定义了有10个元素的有序数组a[20]，n=10，那么n就位于8和13，即F[6]和F[7]之间，所以k=7，此时数组a的元素个数要被扩充，为：F[7] - 1 = 12个； 再如你定义了一个b[20]，且b有12个元素，即n=12,那么很好办了，n = F[7]-1 = 12, 用不着扩充了； 又或者n=8或9或11，则它一定会被扩充到12； 再如n=13，最后得出n位于13和21，即F[7]和F[8]之间，此时k=8，那么F[8]-1 = 20,数组a就要有20个元素了。
所以，n = x（13<=x<=20）时，最后都要被扩充到20；类推，如果n=25呢，则数组a的元素个数肯定要被扩充到 34 - 1 = 33个（25位于21和34，即F[8]和F[9]之间，此时k=9，F[9]-1 = 33），所以，n = x（21<=x<=33）时，最后都要被扩充到33。也就是说，最后数组的元素个数一定是（某个斐波那契数 - 1），这就是一开始说的n与F[k]-1的关系。

对于二分查找，分割是从mid=(low+high)/2开始；而对于斐波那契查找，分割是从mid = low + F[k-1] - 1开始的； 通过上面知道了，数组a现在的元素个数为F[k]-1个，即数组长为F[k]-1，mid把数组分成了左右两部分， 左边的长度为：F[k-1] - 1， 那么右边的长度就为（数组长-左边的长度-1）， 即：（F[k]-1） - （F[k-1] - 1） = F[k] - F[k-1] - 1 = F[k-2] - 1。

斐波那契查找的核心是：

1）当key=a[mid]时，查找成功；

2）当key<a[mid]时，新的查找范围是第low个到第mid-1个，此时范围个数为F[k-1] - 1个，即数组左边的长度，所以要在[low, F[k - 1] - 1]范围内查找；

3）当key>a[mid]时，新的查找范围是第mid+1个到第high个，此时范围个数为F[k-2] - 1个，即数组右边的长度，所以要在[F[k - 2] - 1]范围内查找。

关于斐波那契查找， 如果要查找的记录在右侧，则左侧的数据都不用再判断了，不断反复进行下去，对处于当众的大部分数据，其工作效率要高一些。所以尽管斐波那契查找的时间复杂度也为O(logn)，但就平均性能来说，斐波那契查找要优于折半查找。可惜如果是最坏的情况，比如这里key=1，那么始终都处于左侧在查找，则查找效率低于折半查找。

还有关键一点，折半查找是进行加法与除法运算的（mid=(low+high)/2），插值查找则进行更复杂的四则运算（mid = low + (high - low) * ((key - a[low]) / (a[high]
- a[low]))），而斐波那契查找只进行最简单的加减法运算（mid = low + F[k-1] - 1），在海量数据的查找过程中，这种细微的差别可能会影响最终的效率。

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