递归与迭代

递归与迭代

迭代（iterative）和递归(recursive)可以相互转化。常常要求把递归转化为迭代。因为递归得耗费大量时间。

最大公因数

最大公因数，又称最大公约数，英文Greatest Common Divider，缩写GCD．
n(≥2)个自然数a1,a2,…,an的最大公因数通常有两种定义方式：
1. 它们的所有公因数中最大的那一个；
2. 如果自然数m是这n个自然数的公因数，且这n个数的任意公因数都是m的因数，就称m是这n个数的最大公因数．
a1,a2,…,an的最大公因数在国内常记为(a1,a2,…,an)，国际通用记号为g.c.d.(a1,a2,…,an)． 
例：求最大公因数程序：(以下程序是伪码描述）

递归法：

procedure GCD(a,b)//假设a>b>=0//

   if b==0 then return(a)

          else return(GCD(b,a mod b))//mod运算为模运算，在此式中意为求a与b的模//

   endif

end GCD
转化为迭代：

procedure GCD2(a,b)

   while b!=0 do

      t=b; b=(a mod b); a=t;

   repeat

   return(a)

end GCD2
迭代的另外一个example：

 for(;;)

 {

   a[2] = a[0] + a[1];

   a[0] = a[1];

   a[1] = a[2];

 }

就是反复套用一个公式
一个讨论:
    看过这样一道题，问，“程序结构化设计的三种基础结构，顺序、选择、循环是不是必须的？”当然，你知道这样一个论断，只要有这三种就足够了；但是能不能更少呢？答案是“可以”，原因就是递归能取代循环的作用，例如下面的对一个数组里面元素求和的函数：
float rsum (float a[], const int n)

{

if (n <= 0) return 0;

else return rsum(a, n – 1) + a[n – 1];

}
实际上就是：
sum = 0;

for (int i = 0; i < n; i++) sum += a[i];
　　但实际的情况是，任何的一种语言里面都有循环结构，但不是任何的语言都支持递归；套用一句话，递归是万能的，但没有递归不是万万不能的。然而，我看到现在的某些人，不管什么问题都要递归，明明循环是第一个想到的方法，偏偏费尽脑筋去寻找递归算法。
    经常的看到“递归算法”、“非递归算法”，这种提法没有语义上的问题，并且我自己也这样用——递归的算法。但这也正说明了，递归不是算法，他是一种思想，正是因为某个算法的指导思想是递归的，所以才被称为递归算法；而一个有递归算法的问题，当你不使用递归作为指导思想，这样得到的算法就是非递归算法。——而对于循环能处理的问题，都有递归解法，在这个意义上说，循环算法都可以称为非递归算法。
    我在这咬文嚼字没什么别的意思，只是想让大家知道，能写出什么样的算法，关键是看你编写算法时的指导思想。如果一开始就想到了循环、迭代的方法，你再费心耗神去找什么递归算法——即使找到了一种看似“简洁”的算法，由于他的低效实际上还是废物——你还在做这种无用功干什么？典型的学究陋习。如果你仅仅想到了递归的方法，现在你想用栈来消解掉递归，你做的工作仅仅是把系统做的事自己做了，你又能把效率提高多少？盲目的迷信消解递归就一定能提高效率是无根据的——你做的工作的方法如果不得当的话，甚至还不如系统原来的做法。
　　从学排列组合那天开始，我所知道的阶乘就是这个样子n! = 1×2×……n。如果让我来写阶乘的算法，我也只会想到从1乘到n。再如，斐波那契数列，如果有人用自然语言描述的话，一定是这样的，开始两项是0、1，以后的每项都是前面两项的和。所以让我写也只会得到“保存前两项，然后相加得到结果”的迭代解法。——现在只要是讲到递归几乎就有他们的登场，美其名曰：“定义是递归的，所以我们写递归算法”。我想问的是，定义的递归抽象是从哪里来的？显然阶乘的定义是从一个循环过程抽象来的，斐波那契数列的定义是个迭代的抽象。于是，我们先从一个本不是递归的事实抽象出一个递归的定义，然后我们说，“因为问题的定义是递归的，因此我们很容易写出递归算法”，接着说，“我们也能将这个递归算法转化为循环、迭代算法”，给人的感觉就像是1÷3＝0.33……，0.33……×3＝0.99……，然后我们花了好大的心智才明白1＝0.99……。
　　还是有那么些人乐此不疲，是凡讲到递归就要提到这两个，结果，没有一个学生看到阶乘那样定义没有疑问的，没有一个对于那个递归的阶乘函数抱有钦佩之情的——瞎折腾什么呢？所以，如果要讲递归，就要一个令人信服的例子，而这个例子非汉诺塔莫属。
出几道有关迭代 递归的题以供学习参考

1：迭代方法求方程题：函数countValue()实现下列功能：利用以下所示的简单迭代方法求方程：cos(x)-x=0的一个实根。Xn+1=cos(Xn)

迭代步骤如下：(1)取X1初值为0.0；(2)X0=X1，把X1的值赋给X0；(3)X1=cos(X0)，求出一个新的X1；(4)若X0-X1的绝对值小于0.000001，执行步骤(5)，否则执行步骤(2)；(5)所求X1就是方程cos(X)-X=0的一个实根，作为函数值返回
float countValue(void)
{

   x1=0.0;

   do

   {

      x0=x1;

      x1=cos(x0);

   }

   while(fab(x0-x1)>=0.000001)

   return x1;

}