01背包问题 hnust_xiehonghao的总结

题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
这时候我们可以用二维数组进行做了

//二维数组实现背包 #include<stdio.h> #include<string.h> #define N 1002 int max ; int main() {  int jiazhi ,tiji ,t,i,j,n,v;         scanf("%d",&t);   while(t--)   {    scanf("%d%d",&n,&v);    for(i=1;i<=n;i++)    scanf("%d",&jiazhi[i]);    for(i=1;i<=n;i++)    scanf("%d",&tiji[i]);    memset(max,0,sizeof(max));    for(i=1;i<=n;i++)     for(j=0;j<=v;j++)     {      if(tiji[i]<=j&&max[i-1][j]<max[i-1][j-tiji[i]]+jiazhi[i])       max[i][j]=max[i-1][j-tiji[i]]+jiazhi[i];        else         max[i][j]=max[i-1][j];     }     printf("%d\n",max [v]);   }  return 0; }

但是我们为了以后解决更加复杂的背包  必须学会用一维数组解决它

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
伪代码如下：
for i=1..N
    for v=V..0
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
画个图给大家演示下
也就是说此时的f[v],f[v-c[i]] 是前面的 
假设体积是10  
      背包体积----->>>>>

价值	大小	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	放	第	一	个	物	品
1	2	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3	放	第	二	个
5	3	2	2	3	3	3	8	8	8	8	8
4	4	2	2	3	3	3	8	8	8	8	12
3	5

可以看出 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
V是从大到小的 
其中的f[v],f[v-c[i]]是前面的值  比较的结果赋值给f[v]
比如说当i=5的时候   f[v]>f[v-5]注意两者都是i=4时候的值得出的结果12 赋值到新的f[v] 但是此时的f[v]是i=5的
当把最后一行改写成55 6的时候    我们可以看出 f[v-6]=f[4]+55  大于f[v] 所以我们可以得出新的f[v]=f[4]+55这样结果就是取的体积为1 2 6    
代码如下//一维数组实现背包问题
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define N 1002

int main()
{
    int dp
,vol
,val
;
    int t,n,i,j,v;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&v);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&val[i]);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&vol[i]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=v;j>=vol[i];j--)
                if(dp[j]<dp[j-vol[i]]+val[i])
                    dp[j]=dp[j-vol[i]]+val[i];
        printf("%d\n",dp[v]);
    }
    return 0;
}

初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f
是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。