正确理解直线的方向向量
2012-07-19 14:01
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正确理解直线的方向向量
http://www.kcdb.com.cn/newsInfo.htm?id=2933笔者在实际教学的过程中发现,学生在方向向量概念的理解上存在疑问,方向向量是在直线方程这一章提出的,其主要作用是刻画已知直线的斜率,通过翻阅近三年的高考试卷,发现高考题对方向向量也有充分的考查,那么如何充分理解方向向量来解决相关的问题,我在这谈一些粗浅的认识.
书本上是这样引入方向向量的.
直线上的向量
及与它平行的向量都称为直线的方向向量.理解这句话的意思需要弄清这样几个概念:①什么是直线上的向量?
②P1 ,P2在直线上有没有顺序?
③什么是平行向量?
首先,直线上的向量指的是向量的起点与终点都在直线上.
其次,直线上的向量
的起点与终点是没有顺序之分的,如图所示,有两种情况:
再次,平行向量指的是与已知向量方向相同或相反的向量,可以在直线上,也可以在直线外.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),根据向量的坐标运算,
对图一:
=(x2- x1,y2- y1)=(x2-x1)(1,
)=
(x2-x1)(1,k) 1
对图二:
=(x1- x2,y1- y2)=(x1-x2)(1,
)=
(x1-x2)(1,k) 2
从上面两个式子发现,如果给出了直线上的两个点,我们很快便可以表示出这条直线的方向向量,同时,也能得出直线的斜率,如果给出了直线的方向向量,我们可以根据向量的坐标运算,表示成1 2的形式,直接找到直线的斜率.
下面我们看这样一个例子:
例1 求过点(1,2),方向向量是(3,5)的直线方程
分析:由题可得
,于是得到直线的斜率k=
,根据直线方程的点斜式,问题得解.
解:设所求的直线方程是:y=kx+b,
由题可知
,可知该直线的斜率是k=
,
又因为该直线方程过点(1,2) ,
故所求直线的方程是:
, 即5x-3y+1=0.
通过以上题目的分析,我们发现,直线的方向向量在教学大纲中也是着重要求的内容,同学们在学习的时候必须加以透彻理解,在平常做练习的时候加以体会和运用.
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