计算几何，三维向量的旋转

写这篇日志有两个目的：一来是想测试新装上去的LaTeX插件显示数学公式是否好用（不过貌似通过RSS获取到的日志是没有办法显示的……）；二来是对于三维向量绕任意轴的旋转之前我都是用结论的，今天因为做计算机图形学的作业去推导了一下，发现计算量相当大，算了我一个早上，故特以此日志留念。

言归正传，首先我们讨论二维向量的旋转。

对于一个向量OP(x, y)，我们如何得知其绕原点O，沿逆时针方向（注意，以下所说的旋转均指逆时针方向，并且对于三维的情况我们假定坐标系都是符合右手定则的）旋转θ后的向量OP'(x', y')呢？

我们采取参数方程进行推导。设向量OP的长度为r，其辐角为φ，则其可表示为OP(r cos(φ), r sin(φ))，这样其旋转θ后的向量就可表示为OP'(r cos(φ + θ), r sin(φ + θ))，由三角函数的合角公式即可得到OP'(x cos(θ) - y sin(θ), x sin(θ) + y cos(θ))。

我们知道，几何中的变换是可以用线性代数中的矩阵进行描述的，上述旋转变换如果用矩阵描述便如下所示：

[cosθsinθ−sinθcosθ]⋅[xy]=[xcosθ−ysinθxsinθ+ycosθ]

好，现在我们已经知道如何进行二维向量的旋转了，那么我们开始讨论三维向量的旋转。

与二维向量不同，三维向量的旋转必须首先确定转动轴。那么首先来看三种特殊情况：绕x轴旋转、绕y轴旋转、绕z轴旋转。

注意到这三种特殊情况和二维情况是类似的，因为向量总在某个坐标平面内进行旋转，因此我们可以很容易地把前面那个矩阵扩展到三维，即如下所示：

Rx(θ)=⎡⎣1000cosθsinθ0−sinθcosθ⎤⎦

Ry(θ)=⎡⎣cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎤⎦

Rz(θ)=⎡⎣cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎤⎦

现在，我们来看看如何推导向量绕任意轴向量OS(x, y, z)旋转的矩阵吧。

我们可以这样，先将向量OS通过旋转与x轴重合，这样绕向量OS的旋转就变为了绕x轴的旋转，之后我们再将向量OS转回原来的位置。

为此，我们首先将向量OS通过旋转与x轴重合。分为两步：首先将向量OS绕x轴旋转，直到向量OS处于yOz平面上；再将向量OS绕y轴旋转，直到向量OS与x轴重合。

事实上，通过简单的几何关系，我们可以得出两步中所需要转动角度的sin值和cos值。由此可以写出这两步变换分别对应的矩阵，如下所示（如果难以理解，可以画画图并对照前面绕坐标轴旋转的矩阵）：

R1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢1000zy2+z2−−−−−−√yy2+z2−−−−−−√0−yy2+z2−−−−−−√zy2+z2−−−−−−√⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

R2=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢xx2+y2+z2−−−−−−−−−−√0−y2+z2−−−−−−√x2+y2+z2−−−−−−−−−−√010y2+z2−−−−−−√x2+y2+z2−−−−−−−−−−√0xx2+y2+z2−−−−−−−−−−√⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

接下来，绕向量OS的旋转就变为了绕x轴的旋转，设旋转角度为θ，则对应的矩阵如下所示：

R3=⎡⎣1000cosθsinθ0−sinθcosθ⎤⎦

最后，需要把向量OS转回原来的位置，这只需要把前面的角度取相反数即可，可以立刻写出矩阵，如下所示：

R4=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢xx2+y2+z2−−−−−−−−−−√0y2+z2−−−−−−√x2+y2+z2−−−−−−−−−−√010−y2+z2−−−−−−√x2+y2+z2−−−−−−−−−−√0xx2+y2+z2−−−−−−−−−−√⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

R5=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢1000zy2+z2−−−−−−√−yy2+z2−−−−−−√0yy2+z2−−−−−−√zy2+z2−−−−−−√⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

由于矩阵乘法满足结合律，现在，让我们顺次将这些矩阵相乘，最终得到向量绕任意轴OS(x, y, z)旋转的矩阵，如下所示：

R=R5R4R3R2R1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x2+(y2+z2)cosθx2+y2+z2yx(1−cosθ)x2+y2+z2+zsinθx2+y2+z2−−−−−−−−−−√zx(1−cosθ)x2+y2+z2−ysinθx2+y2+z2−−−−−−−−−−√xy(1−cosθ)x2+y2+z2−zsinθx2+y2+z2−−−−−−−−−−√y2+(z2+x2)cosθx2+y2+z2zy(1−cosθ)x2+y2+z2+xsinθx2+y2+z2−−−−−−−−−−√xz(1−cosθ)x2+y2+z2+ysinθx2+y2+z2−−−−−−−−−−√yz(1−cosθ)x2+y2+z2−xsinθx2+y2+z2−−−−−−−−−−√z2+(x2+y2)cosθx2+y2+z2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

看上去很复杂吧？这是我推了一早上得到的最终结果……不保证正确性……不过呢，如果向量OS的长度恰为1（这很容易办到），那么这个矩阵就可以大大简化了，如下所示：

R=⎡⎣⎢⎢x2+(1−x2)cosθyx(1−cosθ)+zsinθzx(1−cosθ)−ysinθxy(1−cosθ)−zsinθy2+(1−y2)cosθzy(1−cosθ)+xsinθxz(1−cosθ)+ysinθyz(1−cosθ)−xsinθz2+(1−z2)cosθ⎤⎦⎥⎥

虽然公式看似繁杂，但可以看出对称性是很强的，其实是很优美的！

嗯，就这样了，如果有误敬请指正！

转自：http://dumbear.com/blog/?p=143

另参考：http://gaoyunxiang.com/?p=13