tarjan算法的心得

http://blog.csdn.net/sevenster/article/details/6882225

Tarjan大神DFS的三个算法终于都学会了。
1.Tarjan求最近公共祖先。
2.Tarjan求强连通分量。
3.Tarjan求双连通分支。
这篇文章介绍第三项：Tarjan求双连通分支；
基本概念：
1.割点。在无向图中存在这样一个点，切除该点图的连通分量数+1.也就是说原有的一个连通分量经过操作成为两个连通分量。
2.桥。在无向图中存在这样一条边，删掉该边图的连通分量数+1.
3.块（点双连通分支）。在一个极大连通子图中，该连通分支的点连通度≥2，既至少删除两个点才能破坏无向图的连通性。
4.边双连通分支。在一个极大连通子图中，该连通分支的边连通度≥2。
求解方法：
由dfs构造的一棵搜索树中:
1.割点：点u为割点,满足以下两个条件之一
1>.u为树的root && u的孩子≥2个
2>.u不为树的root && 满足DFN[u]<=LOW[v];
其中DFN为dfs过程中节点的编号。LOW为该点引出的边中最多直接或间接连接的最早的祖先。
1>.条件很形象.2>.当出现DFN[u]<=LOW[v]时，也就是说v点最多达到u,不可能再向上达到u的祖先节点。显然这个时候将u点删除，v所在的一团和u点祖先的一团分割为两个连通分量。所以u为割点。
2.桥:边(u,v)为桥，满足该条件：DFN[u]<LOW[v]。这里照上面的讲解也很形象。当DFN[u]==LOW[v]时，当u->v dfs递归，存在一条v->u的回边，使得LOW[v]=DFN[u];故不为桥。
割和桥的两种判定就像上面的讲述：
[cpp] view plaincopy
<span style="font-size:18px;">void Tarjan( int u,int father )  
{  
     Node *p=ptr[u];  
     DFN[u]=LOW[v]=++DEP;  
     while( p )  
     {  
            if( DFN[p->v]==0 )  
            {  
                Tarjan( p->v,u );  
                LOW[u]=min( LOW[u],LOW[v] );  
                //if DFN[u]<LOW[v] 则(u,v)为桥；   
            }  
            else if( p->v!=father )  
                 LOW[u]=min( LOW[u],DFN[v] );  
            p=p->next;  
     }  
     /* 
     if( u is root ) 
         u是割点 <=> u至少有两个孩子 
     else 
         u是割点 <=> DFN[u]<=LOW[v]  
     */   
}</span>  
下***体的求桥和割点的方法：
首先用Tarjan标记DFN和LOW数组
[cpp] view plaincopy
<span style="font-size:18px;">void getV_B()  
{  
     Tarjan(1,0);  
     int rootSon=0,cutPoint=0;  
     for( i=2;i<=N;i++ )  
     {  
          if( father[i]==1 )  
              rootSon++;  
          else if( DFN[father[i]<=LOW[i]] )  
              cutPoint++;//i为割点  
     }  
     if( rootSon>=2 )  
         cntPoint++;//root点1为割点  
     for( i=1;i<=N;i++ )  
          if( DFN[father[i]]<LOW[i] )  
              //( father[i],i )为桥；   
}  
</span>  
3.边双连通分支：
也就是将桥删除后整个图分成的连通块就是边双连通分支。
4.点双连通分支：
对于点双连通分支，实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储当前双连通分支，在搜索图时，每找到一条树枝边或反向边，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足dfn(u)<=low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。
[cpp] view plaincopy
<span style="font-size:18px;">void Tarjan(int u, int father){   
    int i,j,k;  
    low[u] = dfn[u] = nTime ++;  
    for( i = 0;i < G[u].size() ;i ++ )   
    {  
        int v = G[u][i];  
        if( ! dfn[v])   
        { //v没有访问过//树边要入栈  
            Edges.push_back(Edge2(u,v));  
            Tarjan(v,u);  
            low[u] = min(low[u],low[v]);  
            Edge2 tmp(0,0);  
            if(dfn[u] <= low[v])   
            { //从一条边往下走，走完后发现自己是割点，则栈中的边一定全是和自己在一个双连通分量里面//根节点总是和其下的某些点在同一个双连通分量里面  
                  cout << "Block No: " << ++ nBlockNo << endl;  
                  do   
                  {  
                     tmp = Edges.back();  
                     Edges.pop_back ();  
                     cout << tmp.u << "," <<tmp.v << endl;  
                   }while ( !(tmp.u == u && tmp.v == v) );  
            }  
        }  // 对应if( ! dfn[v]) {  
        else if( v != father )  
        {  
             //u连到父节点的回边不考虑  
             low[u] = min(low[u],dfn[v]);  
             if( dfn[u] > dfn[v])//子孙连接到祖先的回边要入栈，但是子孙连接到自己的边，此处肯定已经入过栈了，不能再入栈  
                 Edges.push_back(Edge2(u,v));  
        }  
    } //对应  for( i = 0;i < G[u].size() ;i ++ ) {  
}</span>