跳跃表数据结构

跳跃表

本文将总结一种数据结构：跳跃表。前半部分跳跃表性质和操作的介绍直接摘自《让算法的效率跳起来--浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》上海市华东师范大学第二附属中学 魏冉。之后将附上跳跃表的源代码，以及本人对其的了解。难免有错误之处，希望指正，共同进步。谢谢。

跳跃表（Skip List）是1987年才诞生的一种崭新的数据结构，它在进行查找、插入、删除等操作时的期望时间复杂度均为O(logn),有着近乎替代平衡树的本领。而且最重要的一点，就是它的编程复杂度较同类的AVL树，红黑树等要低得多，这使得其无论是在理解还是在推广性上，都有着十分明显的优势。

首先，我们来看一下跳跃表的结构



跳跃表由多条链构成（S0，S1，S2 ……，Sh），且满足如下三个条件：

每条链必须包含两个特殊元素：+∞ 和 -∞(其实不需要)

S0包含所有的元素，并且所有链中的元素按照升序排列。

每条链中的元素集合必须包含于序数较小的链的元素集合。

操作

一、查找

目的：在跳跃表中查找一个元素x

在跳跃表中查找一个元素x，按照如下几个步骤进行：

1. 从最上层的链（Sh）的开头开始

2. 假设当前位置为p，它向右指向的节点为q（p与q不一定相邻），且q的值为y。将y与x作比较

(1) x=y 输出查询成功及相关信息

(2) x>y 从p向右移动到q的位置

(3) x<y 从p向下移动一格

3. 如果当前位置在最底层的链中（S0），且还要往下移动的话，则输出查询失败



二、插入

目的：向跳跃表中插入一个元素x

首先明确，向跳跃表中插入一个元素，相当于在表中插入一列从S0中某一位置出发向上的连续一段元素。有两个参数需要确定，即插入列的位置以及它的“高度”。

关于插入的位置，我们先利用跳跃表的查找功能，找到比x小的最大的数y。根据跳跃表中所有链均是递增序列的原则，x必然就插在y的后面。

而插入列的“高度”较前者来说显得更加重要，也更加难以确定。由于它的不确定性，使得不同的决策可能会导致截然不同的算法效率。为了使插入数据之后，保持该数据结构进行各种操作均为O(logn)复杂度的性质，我们引入随机化算法（Randomized Algorithms）。

我们定义一个随机决策模块，它的大致内容如下：

产生一个0到1的随机数r r ← random()

如果r小于一个常数p，则执行方案A， if r<p then do A

否则，执行方案B else do B

初始时列高为1。插入元素时，不停地执行随机决策模块。如果要求执行的是A操作，则将列的高度加1，并且继续反复执行随机决策模块。直到第i次，模块要求执行的是B操作，我们结束决策，并向跳跃表中插入一个高度为i的列。

我们来看一个例子：

假设当前我们要插入元素“40”，且在执行了随机决策模块后得到高度为4

步骤一：找到表中比40小的最大的数，确定插入位置



步骤二：插入高度为4的列，并维护跳跃表的结构



三、删除

目的：从跳跃表中删除一个元素x

删除操作分为以下三个步骤：

在跳跃表中查找到这个元素的位置，如果未找到，则退出

将该元素所在整列从表中删除

将多余的“空链”删除



我们来看一下跳跃表的相关复杂度：

空间复杂度： O(n) （期望）

跳跃表高度： O(logn) （期望）

相关操作的时间复杂度：

查找： O(logn) （期望）

插入： O(logn) （期望）

删除： O(logn) （期望）

之所以在每一项后面都加一个“期望”，是因为跳跃表的复杂度分析是基于概率论的。有可能会产生最坏情况，不过这种概率极其微小。