《算法导论》 6.2 d叉堆的分析

二叉堆操作

d叉堆有与二叉堆很类似，但（一个可能的例外是）其中的每个非叶结点有d个子女，而不是2个。

    a）如何在一个数组中表示一个d叉堆？
    b）含n个元素的的叉堆的高度是多少？

    c）给出d叉最大堆的EXTRACT-MAX的一个有效实现，并用d和n表示出它的运行时间。

    d）给出d叉堆的INSERT的一个有效实现，并用d和n表示出它的运行时间。

    e）给出INCREASE-KEY(A, i, k)的一个有效实现，该过程首先执行A[i]<--max(A[i], k), 并相应的更新d叉最大堆的结构。请用d和n表示出它的运行时间。

分析与解答：(数组中有0号元素。)

    类似于二叉堆，可以用数组来表示

    a）在数组中表示d叉堆，给定了每个结点的下标i，其父结点PARENT(i)和它的第k个儿子，可以简单的计算出来:

 

         PARENT(i) = (i-1)/d。向下取整

         CHILD(i,k) = d*i+k,   0≦k≦d

    b）高度为h的一个满的d叉堆的结点个数为d^h-1。假设若n个元素的d叉堆高度为h，则

                             d^(h-1)≦n≦d^h-1

       由此可得h = logd(n)向上取整。

    c) 可以先将堆末元素和堆顶的元素交换，然后再采用MAX-HEAPIFY的方法调整堆顶元素，整个过程如下：

   

HEAP-EXTRACT-MAX(A) 

if heap-size[A]<1 
   then error
"heap underflow" 
max←A[1] 
A[1]←A[heap-size[A]] 
heap-size[A]←heap-size[A]-1 
MAX-HEAPIFY(A,1) 
return max 

 

MAX-HEAP-ISNERT(A, key) 
heap-size←heap-size+1 
A[heap-size]←-∞ 
INCREASE-KEY(A, heap-size[A], key) 

MAX-HEAP-ISNERT(A, key)
heap-size←heap-size+1
A[heap-size]←-∞
INCREASE-KEY(A, heap-size[A], key)

    从接下来的也可以看到，它和INCREASE-KEY过程的运行时间相同，也为logd(n)

e）可以迭代的实现，每次只需要和父结点比较，然后逐渐往上调整即可，整个过程如下：

   

 

INCREASE-KEY(A,i,k) 

A[i]←max(A[i],k) 
while i>1 and  A[i]> A[parent(i)] 
   do exchange A[i]↔A[parent(i)] 
      i←parent(i) 

INCREASE-KEY(A,i,k)
A[i]←max(A[i],k)
while i>1 and A[i]> A[parent(i)]
do exchange A[i]↔A[parent(i)]
i←parent(i)

   因为while循环中最多往上调整的次数为堆的高度，并且每次只需要和父亲结点进行比较，因此总的运行时间为logd(n)