背包问题（01背包，完全背包，多重背包）

写在最前面的

近日为以下琐事烦身：

差不多要向学院提交项目申请了，本来是想做个多模式的IM系统的，可是跟往届通过审核的项目比起来，缺乏创新和研究价值，所以在文档上要多做手脚，花点心思。

一大堆的作业，每每期中都是这样。
一直想读的DirectUI开源代码一直没有进展下去。
准备五月底的软件设计比赛。
魔兽玩的好菜。
空虚寂寞，想找个GF…

背包问题，经典有背包九讲。

01背包

不死族的巫妖王发工资拉,死亡骑士拿到一张N元的钞票(记住,只有一张钞票),为了防止自己在战斗中频繁的死掉,他决定给自己买一些道具,于是他来到了地精商店前.

死亡骑士:”我要买道具!”

地精商人:”我们这里有三种道具,血瓶150块一个,魔法药200块一个,无敌药水350块一个.”

死亡骑士:”好的,给我一个血瓶.”

说完他掏出那张N元的大钞递给地精商人.

地精商人:”我忘了提醒你了,我们这里没有找客人钱的习惯的,多的钱我们都当小费收了的,嘿嘿.”

死亡骑士:”……你妹”

死亡骑士想,与其把钱当小费送个他还不如自己多买一点道具,反正以后都要买的,早点买了放在家里也好,但是要尽量少让他赚小费.

现在死亡骑士希望你能帮他计算一下,最少他要给地精商人多少小费.

上面就是一个01背包问题。上面的问题可以描述为：

有n个物品，每个物品的重量为weight[i]，每个物品的价值为value[i]。现在有一个背包，它所能容纳的重量为total，问：当你面对这么多有价值的物品时，你的背包所能带走的最大价值是多少？

思路：每个物品无非是装入背包或者不装入背包，那么就一个一个物品陆续放入背包中。可以有

tab[i][j] = max(tab[i-1][j-weight[i]]+value[i],tab[i-1][j]) ({i,j|0<i<=n,0<=j<=total})

其中i表示放第i个物品，j表示背包所容纳的重量，那么tab[i-1][j-weight[i]]+value[i]表示放入第i物品，刚开始接触会有疑问，tab[i-1][j-weight[i]]这个值，可以这样理解：tab[i-1][j]为装到上一个物品在背包j容量时的最佳值，那么如果我要在j容量的时候放入现在的i物品，那么是不是要j-weight[i]，所以tab[i-1][j-weight[i]]+value[i]为放入第i物品的价值；tab[i-1][j]就是不放入第i个物品。

动态规划的思维就在这里体现了，即tab[i-1][j]是tab[i][j]的最优解（我觉得上面的思路讲解较容易理解）。

例子：5个物品，（重量，价值）分别为：（5，12），（4，3），（7，10），（2，3），（6，6）。

背包容量	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
5物品	0	0	0	0	0	0	6	12	12	15	15	18	22	22	25	25
4物品	0	0	3	3	3	3	3	12	12	15	15	18	22	22	25	25
3物品	0	0	0	0	0	0	0	12	12	15	15	15	22	22	22	22
2物品	0	0	0	0	3	12	12	12	12	15	15	15	15	15	15	15
1物品	0	0	0	0	0	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12

故有：

1	for i=[weight[0],total]

2	tab[n-1][i] = weight[0]; // n为物品数量

3	for i=[1,n)

4	for j=[weight[i],total]

5	tab[n-i-1] = max(tab[n-i][j-weight[i]]+value[i],tab[n-i][j])

6	/* print tab[0][total]*/

完全背包

不死族的巫妖王发工资拉,死亡骑士拿到一张N元的钞票(记住,只有一张钞票),为了防止自己在战斗中频繁的死掉,他决定给自己买一些道具,于是他来到了地精商店前.

死亡骑士:”我要买道具!”

地精商人:”我们这里有三种道具,血瓶150块无限个,魔法药200块无限个,无敌药水350块无限个.”

死亡骑士:”好的,给我一个血瓶.”

说完他掏出那张N元的大钞递给地精商人.

地精商人:”我忘了提醒你了,我们这里没有找客人钱的习惯的,多的钱我们都当小费收了的,嘿嘿.”

死亡骑士:”……你妹”

死亡骑士想,与其把钱当小费送个他还不如自己多买一点道具,反正以后都要买的,早点买了放在家里也好,但是要尽量少让他赚小费.

现在死亡骑士希望你能帮他计算一下,最少他要给地精商人多少小费.

上面的魔兽场景描述跟上面的只有小小的差异，就是物品有一个变为了无限个，这就是完全背包问题。完全背包问题可以描述为：

有n种物品，每种物品有无限个，每个物品的重量为weight[i]，每个物品的价值为value[i]。现在有一个背包，它所能容纳的重量为total，问：当你面对这么多有价值的物品时，你的背包所能带走的最大价值是多少？

有了上面01背包的式子，这题会变的容易理解很多，只是这个式子要有小小的改动。01背包在二维数组上操作，就是为了防止一个物品被放入多次的情况。因此一维数组可以满足完全背包的问题。如下：

tab[j] = max(tab[j-weight[i]]+value[i],tab[j]);({i,j|0<i<=n,0<=j<=total})

根本就是一样的，只不过物品可以被放多次。

背包容量	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
i物品	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X

故有：

1	for i=[0,n)

2	for (j=weight[i]; j<=total; j++)

3	tab[j] = max(tab[j-weight[i]]+value[i],tab[j])

4	/* print tab[0][total]*/

多重背包

不死族的巫妖王发工资拉,死亡骑士拿到一张N元的钞票(记住,只有一张钞票),为了防止自己在战斗中频繁的死掉,他决定给自己买一些道具,于是他来到了地精商店前.

死亡骑士:”我要买道具!”

地精商人:”我们这里有三种道具,血瓶150块a个,魔法药200块b个,无敌药水350块c个.”

死亡骑士:”好的,给我一个血瓶.”

说完他掏出那张N元的大钞递给地精商人.

地精商人:”我忘了提醒你了,我们这里没有找客人钱的习惯的,多的钱我们都当小费收了的,嘿嘿.”

死亡骑士:”……你妹”

死亡骑士想,与其把钱当小费送个他还不如自己多买一点道具,反正以后都要买的,早点买了放在家里也好,但是要尽量少让他赚小费.

现在死亡骑士希望你能帮他计算一下,最少他要给地精商人多少小费.

上面的魔兽场景描述跟上面的又有了小小的差异，就是物品有一个变为了有限个，问题也就变成了多重背包问题。

有n种物品，每种物品有amount[i]个，每个物品的重量为weight[i]，每个物品的价值为value[i]。现在有一个背包，它所能容纳的重量为total，问：当你面对这么多有价值的物品时，你的背包所能带走的最大价值是多少？

多重和完全更接近，多了数量的限制，用一个count
计数数组来限制物品i的数量。当放入第i个物品是较优值的时候，count[i]=count[i-weight[i]]+1;这样做是因为，放入第i个物品的操作是基于count[i-weight[i]]放入的，所以当count[i-weight[i]]>=amount[i]时，就要阻止放入即便放入第i个物品是较优值。 故有：

01	for i=[0,n)

02	/* 将count数组清零*/

03	for (j=weight[i]; j<=total; j++)

04	if count[i-weight[i]]<amout[i]

05	tab[j] = max(tab[j-weight[i]]+value[i],tab[j]);

06	if tab[j]=tab[j-weight[i]]+value[i] // 决定放入i是较优解

07	count[i] = count[i-weight[i]] + 1

08	else if tab[j]=0 // 防止装第1个物品和装其他物品的情况

09	tab[j] = tab[j-1],count[j] = count[j-1]

10	else count[j] = count[j-1]

11	/* print tab[0][total]*/

总结

总结都在上面了。

附件：背包问题–01背包-完全背包-多重背包.rar

本文完 Sunday, May 06, 2012

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