POJ 1191 棋盘分割

题目连接：http://poj.org/problem?id=1191

解题思路：

棋盘分割一块之后，剩余的棋盘的分割和原问题类似，只是规模变小了。棋盘分割问题可以采用动态规划方法解决。

对方差公式进行化解，得到σ^2=1/n∑xi^2 - x^2

可知，要使方差最小，只需使∑xi^2最小即可，即各块分值平方和最小。平均值 x是个固定的数，跟分割的方式没有关系，

首先定义状态：dp[k][x1][y1][x2][y2]，表示左上角坐标(x1,y1)到右下角坐标(x2,y2)区域的棋盘经过k次分割后，各块分值平方和的最小值。则状态转移方程为：

dp[k][x1][y1][x2][y2] = min{

dp[0][x1][y1][t][y2]+dp[k-1][t+1][y1][x2][y2], (x1 <= t < x2)

dp[k-1][x1][y1][t][y2]+dp[0][t+1][y1][x2][y2], (x1 <= t < x2) //竖切

dp[0][x1][y1][x2][t]+dp[k-1][x1][t+1][x2][y2], (y1 <= t < y2)

dp[k-1][x1][y1][x2][t]+dp[0][x1][t+1][x2][y2] (y1 <= t < y2) //横切

}

dp[0][x1][y1][x2][y2]表示左上角坐标(x1,y1)到右下角坐标(x2,y2)区域的棋盘的分值和平方

有了状态转移方程后，就很容易写出代码了，开始dp数组使用long double，提交后WA，改成double后就AC了，很奇怪。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iomanip>

using namespace std;

int data[9][9];
int sum[9][9];
double dp[14][9][9][9][9];

//返回左上角坐标(x1,y1)到右下角坐标(x2,y2)区域的棋盘的分值和平方
double count(int x1, int y1, int x2, int y2)
{
double ans = (double)(sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]);

return ans*ans;
}

int main()
{
int n, total=0;
//输入数据
cin>>n;
for(int i=1; i<=8; ++i)
for(int j=1; j<=8; ++j)
{
cin>>data[i][j];
//sum[i][j]表示棋盘(1,1)到(i,j)区域的累计分值
sum[i][j] = sum[i][j-1] + sum[i-1][j] - sum[i-1][j-1] + data[i][j];
//total表示整个棋盘的分值之和
total += data[i][j];
}

//初始化dp数组
for(int x1=1; x1<=8; ++x1)
for(int y1=1; y1<=8; ++y1)
for(int x2=x1; x2<=8; ++x2)
for(int y2=y1; y2<=8; ++y2)
dp[0][x1][y1][x2][y2] = count(x1,y1,x2,y2);

//自底向上计算dp数据
for(int k=1; k<n; ++k)
for(int x1=1; x1<=8; ++x1)
for(int y1=1; y1<=8; ++y1)
for(int x2=x1; x2<=8; ++x2)
for(int y2=y1; y2<=8; ++y2)
{
int t;
dp[k][x1][y1][x2][y2] = (double)(1<<30);
for(t=x1; t<x2; ++t)
{
dp[k][x1][y1][x2][y2] = min(dp[k][x1][y1][x2][y2], dp[0][x1][y1][t][y2]+dp[k-1][t+1][y1][x2][y2]);
dp[k][x1][y1][x2][y2] = min(dp[k][x1][y1][x2][y2], dp[k-1][x1][y1][t][y2]+dp[0][t+1][y1][x2][y2]);
}

for(t=y1; t<y2; ++t)
{
dp[k][x1][y1][x2][y2] = min(dp[k][x1][y1][x2][y2], dp[0][x1][y1][x2][t]+dp[k-1][x1][t+1][x2][y2]);
dp[k][x1][y1][x2][y2] = min(dp[k][x1][y1][x2][y2], dp[k-1][x1][y1][x2][t]+dp[0][x1][t+1][x2][y2]);
}
}

//计算方差平方
double ans = dp[n-1][1][1][8][8]*1.0/n - ((double)total*1.0/n)*((double)total*1.0/n);

//输出方差,精确到小数点后三位
cout<<setprecision(3)<<fixed<<sqrt(ans)<<endl;

return 0;
}