如何证明素数有无穷多个
2012-06-19 21:13
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假若素数只有有限多个,设最大的一个是P,从2到P的全体素数是:
2,3,5,7,11……,P。
所有的素数都在这里,此外再没有别的素数了。
现在,我们来考察上面从2到P的全体素数相乘、再加上1这个数,设它是A,即
A=2×3×5×7×11×……×P+1。
A是一个大于1的正整数,它不是素数,就是合数。
如果A是素数,那么,就得到了一个比素数P还要大的素数,这与素数P是最大素数的假设矛盾。
如果A是合数,那么,它一定能够被某个素数整除,设它能被g整除。
因为A被从2到P的任何一个素数除,余数都是1,就是都不能整除,而素数g是能整除A的,所以素数g不在从2到P的全体素数之中。这说明素数g是一个比素数P更大的素数,这又与P是最大的素数的假设矛盾。
上面的证明否定了素数只有有限多个的假定,这就证明了素数是无穷多个。
假若素数只有有限多个,设最大的一个是P,从2到P的全体素数是:
2,3,5,7,11……,P。
所有的素数都在这里,此外再没有别的素数了。
现在,我们来考察上面从2到P的全体素数相乘、再加上1这个数,设它是A,即
A=2×3×5×7×11×……×P+1。
A是一个大于1的正整数,它不是素数,就是合数。
如果A是素数,那么,就得到了一个比素数P还要大的素数,这与素数P是最大素数的假设矛盾。
如果A是合数,那么,它一定能够被某个素数整除,设它能被g整除。
因为A被从2到P的任何一个素数除,余数都是1,就是都不能整除,而素数g是能整除A的,所以素数g不在从2到P的全体素数之中。这说明素数g是一个比素数P更大的素数,这又与P是最大的素数的假设矛盾。
上面的证明否定了素数只有有限多个的假定,这就证明了素数是无穷多个。
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