本文标题: 矩阵向量叉乘-M' cross (Ma, Mb) = det(M) cross (a,b)-向量与数的混合阵及行列式-求值的中间过程与本质
2012-06-19 03:14
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本文标题: 矩阵向量叉乘-M' cross (Ma, Mb) = det(M) cross (a,b)-向量与数的混合阵及行列式-求值的中间过程与本质
答:
M'* cross(Ma,Mb) = det(M) * cross(a,b)
即 cross(Ma,Mb) = M'^(-1)* det(M) * cross(a,b), 这里的逆是矩阵的某种广义逆, 当det(M)<>0时, 就是矩阵的逆.
[1]引言
在百度百科搜索向量积,叉积,矢量积,外积,其中前两者给出了重要参考内容。
向量叉积的坐标表示:
AAA 行向量表示:
设a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),则
a×b=
下面矩阵的行列式,其中i,j,k为单位向量,其它为数。
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
BBB 列向量表示(便于应用):
也可以是其转置矩阵的行列式,转置矩阵列向量(i, j, k)'与列向量a,b并成的矩阵, a=(a1, b1, c1)', b=(a2, b2, c2)
其中,给定直角坐标系的单位向量 i,j,k满足下列等式:
i ×j = k j ×k = i k ×i = j
[2]题:
M表示n阶矩阵,a,b均表示n*1(列)向量,n=3
设cross(Ma,Mb) = N cross(a,b),问 N 如何用M表示?
解:
记 a=(a1, b1, c1)', b=(a2, b2, c2), det(M)或记为|M|,是M的行列式.
注意,i,j,k是单位向量,我们分别将它们视为列向量(1,0,0)', (0,1,0)', (0, 0, 1)'.
cross(a,b) =det ( (i,j,k)', a, b) =det{
}
=列向量(
det(i, a, b)
det(j, a, b)
det(k, a, b)
)
注意,这个形式的表述很有用.参考下面,很容易理解.
=
(i, j, k) *(
det(i, a, b)
det(j, a, b)
det(k, a, b)
)
很显然, (i, j, k)构成单位矩阵(幺阵), 同时展开的话,与前面的行列式对比,显然具有一致性. 这样表述, 为问题的描述带来方便.
注:以上方阵用{}表示,向量用()括住。上面采用上面引言中的列向量记法。有些内容只是备用,不一定用得到.
下面有一部分内容[[[]]]其实是不需要有的.但是为了与上面的过程过渡,或者便于侧面印证,列了出来.
[[[
设M由三个行向量r1,r2,r3组成.下面用*表示点乘和矩阵乘法.
则Ma=(r1*a, r2*a, r3*a), Mb= (r1*b, r2*b, r3*b)
于是cross((Ma,Mb)=det{
}
=det { (i,j,k)', Ma, Mb)
=列向量(
det(i, Ma, Mb)
det(j, Ma, Mb)
det(k, Ma, Mb)
)
]]]
证明的主体的内容在下面:
又det (M(i, j, k)', Ma, Mb)
=
向量的中间求和式(
det {(Mi), Ma, Mb}
det {(Mj), Ma, Mb}
det {(Mk), Ma, Mb}
)
其中视Mi为列向,暂不展开
=(
M'*det(i, Ma, Mb)
M'*det(j, Ma, Mb)
M'*det(k, Ma, Mb)
)
注意,其中M'为M的转置。
=M'*(
det(i, Ma, Mb)
det(j, Ma, Mb)
det(k, Ma, Mb)
)
=M'*cross (Ma, Mb)
同时又有
det (M(i, j, k)', Ma, Mb)=det M *det det { (i,j,k)', a, b)= det M *cross (a,b)
故M'*cross (Ma, Mb) = det M *cross (a,b)
按:
注意矩阵乘法有两种等价方案, 以矩阵乘以列向量为例:
(
a11 a12
a21 a22
)*
(
i
j
)
有两种等价的方案,其一是先取行列的内积,再组合
(
a11 i +a12j
a21 i +a22 j
)
其二是,以左边矩阵的列与右边向量的行作数量性质的乘法(似乎有个专名?特例是, 向量乘以数,称做数量乘), 再求和.
(
a11
a21
)*i+
(
a12
a22
)*j
以上利用到了后面的解释.
备用:
(1)
1 1 1
1 x xx
1 xx x
x为三次单位根, xxx=1, xx+x+1=0
(2)符号规范
数字 (x1)1X1
向量 r1_3X1
矩阵 M1_3X3
运算符 数乘* 内积. (同余乘?有没有这概念如无要建立才行好像有类似的) ⊙@ 外积X 带圈的加与乘
直积 kronecher积
(3)射影, 多元数(最近出现的三元数, 哈密顿四元数, 二元向量(复数)的模, 方向, 自旋, 手性, 变换的几何意义, 叉积几何意义,
??? 四元数乘法,如不定义ij=k, 不定义ij=-ji会如何?
http://zhidao.baidu.com/question/435017761.htm 我已经找到正确答案。写到空间里去。我原来的答案我隐藏了,竟然被知道管理员推荐,并且无法更改,真是无语。 题: 带矩阵的向量叉乘公式 提问者: iueqjfh|悬赏分:20|浏览次数:55次 请教大家一个问题: M表示一个3*3的矩阵,a,b分别表示一个3*1的向量 cross(Ma,Mb) = N cross(a,b) 请问 N是什么?如何用M表示? |
M'* cross(Ma,Mb) = det(M) * cross(a,b)
即 cross(Ma,Mb) = M'^(-1)* det(M) * cross(a,b), 这里的逆是矩阵的某种广义逆, 当det(M)<>0时, 就是矩阵的逆.
[1]引言
在百度百科搜索向量积,叉积,矢量积,外积,其中前两者给出了重要参考内容。
向量叉积的坐标表示:
AAA 行向量表示:
设a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),则
a×b=
下面矩阵的行列式,其中i,j,k为单位向量,其它为数。
i | j | k |
a1 | b1 | c1 |
a2 | b2 | c2 |
BBB 列向量表示(便于应用):
也可以是其转置矩阵的行列式,转置矩阵列向量(i, j, k)'与列向量a,b并成的矩阵, a=(a1, b1, c1)', b=(a2, b2, c2)
i | a1 | a2 |
j | b1 | b2 |
k | c1 | c2 |
i ×j = k j ×k = i k ×i = j
[2]题:
M表示n阶矩阵,a,b均表示n*1(列)向量,n=3
设cross(Ma,Mb) = N cross(a,b),问 N 如何用M表示?
解:
记 a=(a1, b1, c1)', b=(a2, b2, c2), det(M)或记为|M|,是M的行列式.
注意,i,j,k是单位向量,我们分别将它们视为列向量(1,0,0)', (0,1,0)', (0, 0, 1)'.
cross(a,b) =det ( (i,j,k)', a, b) =det{
i | a1 | a2 |
j | b1 | b2 |
k | c1 | c2 |
=列向量(
det(i, a, b)
det(j, a, b)
det(k, a, b)
)
注意,这个形式的表述很有用.参考下面,很容易理解.
=
(i, j, k) *(
det(i, a, b)
det(j, a, b)
det(k, a, b)
)
很显然, (i, j, k)构成单位矩阵(幺阵), 同时展开的话,与前面的行列式对比,显然具有一致性. 这样表述, 为问题的描述带来方便.
注:以上方阵用{}表示,向量用()括住。上面采用上面引言中的列向量记法。有些内容只是备用,不一定用得到.
下面有一部分内容[[[]]]其实是不需要有的.但是为了与上面的过程过渡,或者便于侧面印证,列了出来.
[[[
设M由三个行向量r1,r2,r3组成.下面用*表示点乘和矩阵乘法.
则Ma=(r1*a, r2*a, r3*a), Mb= (r1*b, r2*b, r3*b)
于是cross((Ma,Mb)=det{
i | r1*a | r1*b |
j | r2*a | r2*b |
k | r3*a | r3*b |
=det { (i,j,k)', Ma, Mb)
=列向量(
det(i, Ma, Mb)
det(j, Ma, Mb)
det(k, Ma, Mb)
)
]]]
证明的主体的内容在下面:
又det (M(i, j, k)', Ma, Mb)
=
向量的中间求和式(
det {(Mi), Ma, Mb}
det {(Mj), Ma, Mb}
det {(Mk), Ma, Mb}
)
其中视Mi为列向,暂不展开
=(
M'*det(i, Ma, Mb)
M'*det(j, Ma, Mb)
M'*det(k, Ma, Mb)
)
注意,其中M'为M的转置。
=M'*(
det(i, Ma, Mb)
det(j, Ma, Mb)
det(k, Ma, Mb)
)
=M'*cross (Ma, Mb)
同时又有
det (M(i, j, k)', Ma, Mb)=det M *det det { (i,j,k)', a, b)= det M *cross (a,b)
故M'*cross (Ma, Mb) = det M *cross (a,b)
按:
注意矩阵乘法有两种等价方案, 以矩阵乘以列向量为例:
(
a11 a12
a21 a22
)*
(
i
j
)
有两种等价的方案,其一是先取行列的内积,再组合
(
a11 i +a12j
a21 i +a22 j
)
其二是,以左边矩阵的列与右边向量的行作数量性质的乘法(似乎有个专名?特例是, 向量乘以数,称做数量乘), 再求和.
(
a11
a21
)*i+
(
a12
a22
)*j
以上利用到了后面的解释.
备用:
(1)
1 1 1
1 x xx
1 xx x
x为三次单位根, xxx=1, xx+x+1=0
(2)符号规范
数字 (x1)1X1
向量 r1_3X1
矩阵 M1_3X3
运算符 数乘* 内积. (同余乘?有没有这概念如无要建立才行好像有类似的) ⊙@ 外积X 带圈的加与乘
直积 kronecher积
(3)射影, 多元数(最近出现的三元数, 哈密顿四元数, 二元向量(复数)的模, 方向, 自旋, 手性, 变换的几何意义, 叉积几何意义,
??? 四元数乘法,如不定义ij=k, 不定义ij=-ji会如何?
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