【算法导论】第6章堆排序及利用堆建立最小优先级队列

1、堆排序

1.1 堆排序简介

　　堆数据结构是一种数组对象，它可以被视为一棵完全二叉树，树中每个节点与数组A中存放该结点值的那个元素对应。树根为A[1]，给定了某个结点的下标i，其父节点PARENT(i),左儿子节点LEFT(i)和右儿子结点RIGHT(i）的下标可以简单的计算出来：PARENT(i）：不大于i/2的最大整数，LEFT(i):2i;RIGHT（i）：2i+1；

　　堆排序主要分成三个重要步骤：

　　（1）利用MAX-HEAPIFY来保持堆的性质：输入为数组A和下标i。当其被调用时，我们假定以LEFT（i）和RIGHT(i)为根的两棵二叉树都是最大堆，但这时A[i]可能小于其子女，这就违反了最大堆性质。MAX-HEAPIFY让A[i]在最大堆中“下降”，使以i为根的子树成为最大堆。

　　（2）BUILD-MAX-HEAP(A)建堆：自底向上的用MAX-HEAPIFY来将一个数组A[1...n]变成一个最大堆。子数组A[n/2+1...n]中的元素都是树中的叶子，因此每个都可以看做只含一个元素的堆。建堆过程对树中的每一个其他结点都调用一次MAX-HEAPIFY。

　　（3）HEAPSORT(A):利用(2)已经将数组A造成一个最大堆。因为数组中最大元素在根A[1],则可以通过把它与A
互换来达到最终正确的位置。现在，如果从堆中去掉结点n（通过减小A的大小），可以很容易的将A[1...n-1]建成最大堆。原来的根的子女仍是最大堆，而新的根元素可能违背了最大堆性质，这时调用MAX-HEAPIFY(A,1)就可以保持这一性质，在A[1...(n-1)]中构造出最大堆。

1.2、堆排序具体实现代码：

View Code

/*----------------------------------------------
*name:用最小堆实现最小优先级队列
*data:2012-7-3
*author:lp
*---------------------------------------------*/
#include<stdio.h>
#include<limits.h>
#define maxsize 20//最大节点数
int realsize=10;//实际初始时节点数
int parent(int i)//父节点
{
return(i/2);
}
int left(int i)//左子节点
{
return(2*i);
}
int right(int i)//右子节点
{
return(2*i+1);
}
void min_heapify(int p[],int i)//保持堆的性质
{
int l,r,little,temp;
l=2*i;
r=2*i+1;
if(l<=realsize && p[l]<p[i])
little=l;
else little=i;
if(r<=realsize && p[r]<p[little])
little =r;
if(little!=i)
{
temp=p[i];
p[i]=p[little];
p[little]=temp;
min_heapify(p,little);
}
}
void build_min_heap(int p[])//建立大顶堆
{
int i;
for(i=realsize/2;i>0;i--)
min_heapify(p,i);
}
int heap_minimum(int p[])//返回堆中最大值
{
return(p[1]);
}
int heap_extract_min(int p[])//去掉并返回堆中的具有最大关键字的元素
{
int min;
if(realsize<1)
{
printf("堆下溢出\n");
return(-1);
}
min=p[1];
p[1]=p[realsize-1];
realsize--;
min_heapify(p,1);
return(min);
}
int heap_decrease_key(int p[],int i,int key)//将元素i的关键字的值增加到key，这里key不能小于原来的值
{
int temp;
if(key>p[i])
{
printf("key的值太大\n");
return(-1);
}
p[i]=key;

while(i>1 && p[parent(i)]>p[i])
{
temp=p[i];
p[i]=p[parent(i)];
p[parent(i)]=temp;
i=parent(i);
}
return(0);
}
void heap_insert(int p[],int key)//将关键字值为key的值插入到堆中
{
realsize++;
p[realsize]=INT_MAX;
heap_decrease_key(p,realsize,key);
}
void heap_print(int p[])//打印堆
{
int i;
for(i=1;i<realsize+1;i++)
printf("%d  ",p[i]);
printf("\n");
}

void main()
{
int i,key;
int a[maxsize+1]={0,4,1,3,2,16,9,10,14,8,7};
printf("建堆的数据为:\n");
for(i=1;i<realsize+1;i++)
printf("%d  ",a[i]);
printf("\n");
printf("新建成的堆为：\n");
build_min_heap(a);
heap_print(a);

printf("堆中的最大元素为：\n%d\n",heap_minimum(a));
//printf("堆中取出最大元素后为：\n");
//heap_extract_max(a);
//heap_print(a);
printf("输入要插入堆的元素:\n");
scanf("%d",&key);
heap_insert(a,key);
printf("堆中插入元素%d后为：\n",key);
heap_print(a);
printf("请输入要减小的元素及其要减小的值:\n");
scanf("%d,%d",&i,&key);
printf("元素减小之后为：\n");
heap_decrease_key(a,i,key);
heap_print(a);
}

3 参考资料：

（1）算法导论

（2）数据结构