【编程之美】买书问题 - 动态规划

一，问题

      上柜的《哈利波特》平装本系列，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：

        本数    2       折扣   5%

        本数    3       折扣  10%

        本数    4       折扣  20%

        本数    5       折扣  25% 

问题：设计出算法，能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。

 

二，问题分析：

       优化问题就用动态规划、贪心算法、分支限界轮番狂轰乱炸！！直到找到最优解！！


 贪心策略

  当书的数目N<5时，直接按照折扣购买

  当书的数目N>5时，情况如下：

依此可以穷举出每一种组合的情况，对于任意一种情况(i,j,k,m,n)进行分析

先找出是所有书中5种不同的书，如果有则按照5本书折扣价购买

其次找出剩余书中所有4种书，如果有则按照4本书的折扣价购买

再找出剩余书中所有3种书，如果有则按照3本书的折扣价购买 

最后在剩余书中找出所有2种书，如果有则按照2本书的折扣价购买

剩下的书则按照全价购买。

       如果按照这种方法（贪心法）存在反例，比如买8本书时，可以拆成5+3，折扣为1.55；也可以拆成4+4，折扣为1.6 这种两种情况组合中都包括，通过选择一个折扣最低的可以排除掉第一种情况。

       结论：贪心策略不可取

动态规划

         要用动态规划解答首先要找到，动态规划的递归公式，因为动态规划是自顶向下层层递归，然后自底向下层层解答！最后根据底层结论求解最后结果。

        五卷书的价格相同都是8欧元，所以购买（1，0，0，0，0）跟（0，1，0，0，0）效果一样。这里就可以简化为，让所购买书按照本书递增（递减），从而方便讨论。

         要处理的参数为购买每种卷的个数，所以递归一定跟这五个参数相关。可以把参数按照从小到大顺序排列。讨论不为0的参数的个数，从而求出所有可能的折扣种类。然后从当前折扣种类中取价格最小值。

        （X1,X2,X3,X4,X5）代表购买每卷的个数，F（X1，X2，X3，X4，X5）代表最低价格。X1
< X2 < X3 < X4 < X5

                            F（X1，X2，X3，X4，X5）=0 
；当所有参数都为0的情况（这也是退出递归的出口）

                             F（X1，X2，X3，X4，X5）=
min{

                                                                             5*8*(1-25%) +F（X1-1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1）
//参数全部  > 0

                                                                            
4*8*(1-20%) +F（X1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1）   
//x2 > 0

                                                                             3*8*(1-10%) +F（X1，X2，X3-1，X4-1，X5-1）       
//x3 > 0

                                                                            
2*8*(1-5%) +F（X1，X2，X3，X4-1，X5-1）            
//x4 > 0

                                                                            
8 +F（X1，X2，X3，X4，X5-1）                                 
//x5 > 0

                                                                             }

三，动态规划源码：

源码：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int larg = 100000;//定义一个最大值，相当于取最小值时忽略这个位置的值

template <typename T>
void rerank(T m[],int length)//冒泡排序
{
for (int i = length-1; i >0; i--)
{
for (int j = 0; j < i; j++)
{
if (m[j]>m[j +1])
{
T temp;
temp = m[j + 1];
m[j + 1] = m[j];
m[j] = temp;
}
}
}
}

double Min(double a, double b, double c, double d, double e)//返回最小值
{
double nn[5]={a,b,c,d,e};
rerank(nn,5);

return nn[0];
}

double find_BestSol(int x1, int x2, int x3, int x4, int x5)//动态规划（递归实现）
{
int n[5] ={ x1, x2, x3, x4, x5 };
rerank(n,5);//对n进行从小到大排序
x1 = n[0];
x2 = n[1];
x3 = n[2];
x4 = n[3];
x5 = n[4];
/* x1 < x2 < x3 < x4 < x5*/
if (n[0] > 0)//最小的都大于0；则所有卷数都大于0；然后将所有可能折扣罗列出来，返回最小值
{
return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
3 * 8 * 0.9 + find_BestSol(x1, x2, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),
4 * 8 * 0.8 + find_BestSol(x1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),
5 * 8 * 0.75 + find_BestSol(x1 - 1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1));

}
else if ((n[0] == 0) && (n[1] > 0))
{
return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
3 * 8 * 0.9 + find_BestSol(x1, x2, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),
4 * 8 * 0.8 + find_BestSol(x1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1), larg);

}
else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] > 0))
{
return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
3 * 8 * 0.9 + find_BestSol(x1, x2, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),
larg, larg);
}
else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] > 0))
{
return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),
2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),
larg, larg, larg);
}
else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] == 0) && (n[4] > 0))
{
return 8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1);
}
else//都为0
{
return 0;
}
}

int main()
{
//int n1[5] = {3,4,2,1,0};
int n1[5] = {2,2,2,1,1};
double solution = find_BestSol(n1[0],n1[1],n1[2],n1[3],n1[4]);
cout<<"所花费的最少的钱为："<<solution<<endl;
}