现在有100个标记过的电灯泡。第一个人经过这些灯时，点亮所有的灯，第二个人经过时每隔一盏灯就切换开关一次，第三个人经过时每隔两盏灯切换开关一次。请问，当第100个人经过时，还剩多少盏亮着的灯？

偶然看到腾讯一个报道《15道烧糊大脑的苹果面试题》，里面有些很好算法题，就自己动手写了一下，寻求点乐趣。

出处URL：http://tech.qq.com/a/20120611/000062.htm#p=8

public class AppleDemo00 {

/**
* @author 州伟
* @param args
* 现在有100个标记过的电灯泡。第一个人经过这些灯时，点亮所有的灯，第二个人经过时每隔一盏灯就切换开关一次，
* 第三个人经过时每隔两盏灯切换开关一次。
* 请问，当第100个人经过时，还剩多少盏亮着的灯？
*/
public static void main(String[] args) {
//初始化一个数组 ，数组元素 0:关灯、1:开灯
int[] preLights = new int[100];	//初始化元素都为0,默认关灯
for(int a : preLights){
System.out.print(a + " ");
}

for(int i=1;i<=100;i++){	//100个人
for(int j=0;j<100;j=j+i){	//
if(j==0 && i==1){	//第一个人路过时，第一站灯
preLights[j] = turnOnorOffLight(preLights[j]);
}else{
if(j>1){
preLights[j-1] = turnOnorOffLight(preLights[j-1]);
}

}

}
}
System.out.println();
System.out.println("输出------------------");
//输出
for(int a : preLights){
System.out.print(a + " ");
}

//输出描述
System.out.println();
for(int i=0;i<100;i++){
if(preLights[i] != 0){
System.out.print(i+1 + ", ");
}
}
System.out.println();
//发现：结果是完全平方数
System.out.println("综上发现：结果是完全平方数：1*1，2*2，3*3，4*4，5*5，6*6，7*7，8*8，9*9,是否有更好的算法呢？？？");
}

private static int turnOnorOffLight(int a){
switch (a) {
case 0:
return 1;
case 1:
return 0;
}
return -1;
}

}

输出结果：

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
输出------------------
1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,
综上发现：结果是完全平方数：1*1，2*2，3*3，4*4，5*5，6*6，7*7，8*8，9*9,是否有更好的算法呢(看补充)！

希望大家有更好的算法，提供些思路，共同进步。

+


补充：谢谢大家的回复，让我收益颇多，下面我做了些总结：

做了一个草图：10(纵10人)X10(横10栈灯)

第一个人：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

第二个人：0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

第三个人：0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

第四个人：0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

第五个人：0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

第六个人：0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

第七个人：0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

第八个人：0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

第九个人：0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

第十个人：0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

从上面的片段中我们看到，第一盏灯：1，第二盏灯：1、2 第三盏灯：1、3 第四盏灯：1、2、4 第五盏灯：1、5 第六盏灯：1、2、3、6 第七盏灯：1、7 第八盏灯：1、2、4、8 第九盏灯：1、3、9 第四盏灯：1、2、5、10 略。

综上：相信大家已经看出来了：

凡是最后亮的灯，都被按过奇数次每盏灯被按的次数，即等于它的约数的个数，比如8号灯，它被第1、2、4、8这四个人按到，所以最后是灭的状态，再比如16号灯，它被第1、2、4、8、16这五个人按到，所以最后是开的状态。

结论：最后，只有完全平方数，其约数个数为奇数，就是亮灯的情况。

这其实就是纯粹的数学问题，没有必要用code去实现了。