关于序列的几个算法

1.求最小子序列的和

就是对于连续的序列，找出连续序列中和最小的

例如:int a[LEN] = {4,-1,5,-2,-1,2,6,-2,1,-3};

最小的子序列就是：-2,1,-3

对于下面的最大子序列就是：4,-1,5,-2,-1,2,6。

Cpp代码



/**

*最小子序列和

*n

*/

int subMinSum(int a[], int length){

int thismin = 0, min = INT_MAX;

for(int i=0; i<length; i++){

thismin += a[i];

if(thismin < min){

min = thismin;

}else if(thismin > 0){

thismin = 0;

}

}

return min;

}

2.最大子序列的和，其思想和求最小是一样的

Cpp代码



/**

*最大子序列和

*

*/

int subMaxSum(int *a, int length){

int thismax = 0, max=INT_MIN;

for(int i=0; i<length; i++){

thismax += a[i];

if(thismax > max){

max = thismax;

}else if(thismax < 0){

thismax = 0;

}

}

return max;

}

针对上面的两种算法，效率是比较高的，但是正确性不容易看出来，需要自己仔细的揣摩和证明，但是优点也很明显，就是对数据只需要一次的扫描，顺序读入，这对于大量数据来说是很有利的，只要全部读入数据就可以得出结果，这个在算法分析一书中叫做“联机算法(on-line algorithm)”，意思就是上面描述的，线性时间完成的联机算法基本上算法完美算法。

3.求最大子序列,并记录子序列位置

这里我们肯定很容易记录下最终的位置，就是不容易确定序列的起始位置，主要是由于该算法的特性，最后想了好久才想到用：减最大的值的方法，当等于0的时候就找到起始位置了，从而确定序列范围

Cpp代码



#include <iostream>

using namespace std;

int maxsub(const int* a, int length, int* loc){

//maxsum记录最大的值，thissum记录当前的值

int maxsum=0, thissum=0, i=0;

if(length <= 0) return 0;

for(i=0; i<length; i++){

thissum += a[i];

if(maxsum < thissum){

maxsum = thissum;

loc[1] = i;

//这里有一个思想就是，为负数的子序列不可能成为最优子序列的前缀，

}else if(thissum < 0){

thissum = 0;

}

}

thissum = maxsum;

for(i=loc[1]; i>=0; i--){

thissum -= a[i];

if(thissum == 0){

loc[0] = i;

break;

}

}

return maxsum;

}

int main(){

int a[] = {2, -3, 7, -4,-2,-2,6,-2};

int loc[2]={0};

cout<<maxsub(a, 8, loc)<<endl;

cout<<"from:"<<loc[0]<<"---to:"<<loc[1]<<endl;

return 0;

}

4.最小正子序列和

这个是在一博客中看到的：/article/2088219.html

然后我有一个疑问就是，究竟什么是最小正子序列和？这个在网上找了也没有个好的答案（http://tengtime.com/a/gaoxingnenWEBkaifa/20120406/3217.html），如果哪位仁兄知道，不胜感激！！

对于下面求出的sum我也没搞的太清楚是为什么？然后又循环什么的？

Cpp代码



struct Node

{

int sum;

int xiabiao;

};

int cmp(const Node& t1,const Node& t2)

{

return t1.sum < t2.sum;

}

/**

*最小正子序列和

*n*logn

*/

int positiveSubMinSum(int *data, int len){

Node* temp = new Node[len];

temp[0].sum = data[0];

temp[0].xiabiao = 0;

for(int i=1;i<len;i++)

{

temp[i].sum = temp[i-1].sum+data[i];

temp[i].xiabiao = i;

}

//对temp.sum[]进行从小到大排序，sum[]中只有相邻的两个数才有可能 得到 最小正子序列和

sort(temp,temp+len,cmp);

int sum = INT_MAX;

for(int i=0;i<len-1;i++)

{

if(temp[i].xiabiao < temp[i+1].xiabiao)

{

if(temp[i+1].sum - temp[i].sum > 0 && temp[i+1].sum - temp[i].sum < sum)

sum = temp[i+1].sum - temp[i].sum;

}

}

delete temp;

temp=0;

return sum;

}

5.最大子序列的乘积

对网上的一些算法进行了下比较，发现这个算法还可以，比较简洁：/article/10753326.html

对该算法的说明：

这个问题其实可以简化成这样：数组中找一个子序列，使得它的乘积最大；同时找一个

子序列，使得它的乘积最小（负数的情况）。虽然我们只要一个最大积，但由于负数的

存在，我们同时找这两个乘积做起来反而方便。

我们让maxCurrent表示当前最大乘积的candidate，minCurrent反之，表示当前最小乘积

的candidate。这里我用candidate这个词是因为只是可能成为新一轮的最大/最小乘积，

而maxProduct则记录到目前为止所有最大乘积candidates的最大值。

由于空集的乘积定义为1，在搜索数组前，maxCurrent,maxProduct,minCurrent都赋为1。

假设在任何时刻你已经有了maxCurrent和minCurrent这两个最大/最小乘积的candidates，

新读入数组的元素x(i)后，新的最大乘积candidate只可能是maxCurrent或者minCurrent

与x(i)的乘积中的较大者，如果x(i)<0导致maxCurrent<minCurrent，需要交换这两个

candidates的值。

当任何时候maxCurrent<1，由于1（空集）是比maxCurrent更好的candidate，所以更新

maxCurrent为1，类似的可以更新minCurrent。任何时候maxCurrent如果比最好的

maxProduct大，更新maxProduct。

Cpp代码



void swap(int& a, int& b){

int temp = a;

a = b;

b = temp;

}

/**

*最大子序列乘积(同时也求出了最小的子序列乘积)

*在找最大的值得时候，必须记录最小值，因为有负数存在，最小的数可能变成最大的数

*/

int mutiSubMax(int *a, int length){

int i;

int maxProduct = 1;

int minProduct = 1;

int maxCurrent = 1;

int minCurrent = 1;

for( i=0; i<length ;i++)

{

maxCurrent *= a[i];

minCurrent *= a[i];

if(maxCurrent > maxProduct)

maxProduct = maxCurrent;

if(minCurrent > maxProduct)

maxProduct = minCurrent;

if(maxCurrent < minProduct)

minProduct = maxCurrent;

if(minCurrent < minProduct)

minProduct = minCurrent;

//注意交换

if(minCurrent > maxCurrent)

swap(maxCurrent,minCurrent);

//这个必须在最后（防止为0的时候）

if(maxCurrent<1)

maxCurrent = 1;

//if(minCurrent>1)//这里不需要，因为通过交换即可，只需要一个

// minCurrent =1;

}

return maxProduct;

}

6.最长递增子序列

参考：

/article/8206086.html

http://www.programfan.com/blog/article.asp?id=13086

a，问题描述

设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值

b，问题分析

最长递增子序列可以看成一个动态规划的问题，关于动态规划可以参见:

http://hi.baidu.com/hacklzt/blog/item/81e6b8fc795d251f09244de7.html

http://www.cnblogs.com/brokencode/archive/2011/06/26/2090702.html

其实质就是：将问题细化，逐步求解

当然实际的过程相对复杂些，就拿该题来说

如：子序列{1, 9, 3, 8, 11, 4, 5, 6, 4, 19, 7, 1, 7 }这样一个字符串的的最长递增子序列就是{1,3,4,5,6,7}或者{1,3,4,5,6,19}。

首先，该问题可以抽象为：子序列为L(1..n), A(1...i)是一个从1到i的优化的子结构,也就是最长递增子序列,求A(n)。

其次，根据上面的抽象，求的就是A(n), 那么问题就转化为求A(j)与A(1...i)(j>i)的关系（状态转移方程）。

最后，根据动态规划的概念，找的就是上面的这样一个关系，如何将A(j)与A(1...i)联系起来？从而将问题细化，L(j) = max {L(i), i<j && A(i)<A(j) } + 1;

也就是说L(j)等于之前所有的L(i)中最大的的L(i)加一。这样的L(i)需要满足的条件就是A(i)<A(j).这个推断还是比较容易理解的.就是选择j之前所有的满足小于当前数组的最大值.

然后就是将上面的关系式转换为代码，这个就很简单了。

过程如下：



Cpp代码



/**

*最长递增子序列

*

*/

#include <iostream>

#include <cstring>

using namespace std;

//利用动态规划法O(n^2)

void longestIncreaseSub(int* a, int length, int* sub){

int n = length;

//利用一个辅助数列，记录子问题的值

int *t = new int
;//需要将t所有都初始化1,t记录子序列（子问题）的最长递增子序列长度

int *p = new int
;

memset(p,0,sizeof(int));

//初始的最大子序列长度默认为1，即自身组成一个最长递增子序列

t[0]=1;

for(int i=1; i<n; i++){

t[i]=1;

for(int j=0; j<i; j++){

//这里面就是动态优化的状态转移方程

if(a[j]<a[i] && t[j]>t[i]-1){

//里面存的是(0到i)的子序列中最长递增子序列的长度

t[i]=t[j]+1;

//符合要求的子序列位置(就是上一个子序列中的最后一个值的位置)

p[i]=j;

}

}

}

int m=0,k=0;

for (int i=1;i<=n;i++)

{

if (m<t[i])

{//m存t中最大值(就是要找的最长递增子序列)，i是其所在的索引

m = t[i];

k = i;

}

}

while(m>=0){

sub[m-1] = a[k];

m--;

//p[k]中存着子序列中下一个值的下标位置

k = p[k];

}

for(int d=0; d<n; d++) cout<<t[d]<<" ";

cout<<endl;

for(int d=0; d<n; d++) cout<<p[d]<<" ";

delete[] t;

delete[] p;

p = NULL;

t = NULL;

}

int main(){

int a[] = { 1, 9, 3, 8, 11, 4, 5, 6, 4, 19, 7, 1, 7 };

int length = sizeof(a)/sizeof(int);

int* sub = new int[length];

memset(sub,0,sizeof(int));//初始化sub

longestIncreaseSub(a,length, sub);

cout<<endl;

for(int k=0; k<length; k++) cout<<sub[k]<<" ";

delete[] sub;

sub = NULL;

}

7.上面的1,2,4,5的代码全部

Cpp代码



/**

*2.17

*求最小子序列和，最小正子序列和，最大子序列乘积

*

*/

#include <iostream>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define INT_MIN -32768

#define INT_MAX 32767

//在里面有使用#define和const定义常量的比较，推荐使用const

//#define LEN 10

const int LEN = 10;

/**

*最大子序列和

*

*/

int subMaxSum(int *a, int length){

int thismax = 0, max=INT_MIN;

for(int i=0; i<length; i++){

thismax += a[i];

if(thismax > max){

max = thismax;

}else if(thismax < 0){

thismax = 0;

}

}

return max;

}

/**

*最小子序列和

*n

*/

int subMinSum(int a[], int length){

int thismin = 0, min = INT_MAX;

for(int i=0; i<length; i++){

thismin += a[i];

if(thismin < min){

min = thismin;

}else if(thismin > 0){

thismin = 0;

}

}

return min;

}

struct Node

{

int sum;

int xiabiao;

};

int cmp(const Node& t1,const Node& t2)

{

return t1.sum < t2.sum;

}

/**

*最小正子序列和

*n*logn

*/

int positiveSubMinSum(int *data, int len){

Node* temp = new Node[len];

temp[0].sum = data[0];

temp[0].xiabiao = 0;

for(int i=1;i<len;i++)

{

temp[i].sum = temp[i-1].sum+data[i];

temp[i].xiabiao = i;

}

//对temp.sum[]进行从小到大排序，sum[]中只有相邻的两个数才有可能 得到 最小正子序列和

sort(temp,temp+len,cmp);

int sum = INT_MAX;

for(int i=0;i<len-1;i++)

{

if(temp[i].xiabiao < temp[i+1].xiabiao)

{

if(temp[i+1].sum - temp[i].sum > 0 && temp[i+1].sum - temp[i].sum < sum)

sum = temp[i+1].sum - temp[i].sum;

}

}

delete temp;

temp=0;

return sum;

}

void swap(int& a, int& b){

int temp = a;

a = b;

b = temp;

}

/**

*最大子序列乘积(同时也求出了最小的子序列乘积)

*在找最大的值得时候，必须记录最小值，因为有负数存在，最小的数可能变成最大的数

*/

int mutiSubMax(int *a, int length){

int i;

int maxProduct = 1;

int minProduct = 1;

int maxCurrent = 1;

int minCurrent = 1;

for( i=0; i<length ;i++)

{

maxCurrent *= a[i];

minCurrent *= a[i];

if(maxCurrent > maxProduct)

maxProduct = maxCurrent;

if(minCurrent > maxProduct)

maxProduct = minCurrent;

if(maxCurrent < minProduct)

minProduct = maxCurrent;

if(minCurrent < minProduct)

minProduct = minCurrent;

//注意交换

if(minCurrent > maxCurrent)

swap(maxCurrent,minCurrent);

//这个必须在最后（防止为0的时候）

if(maxCurrent<1)

maxCurrent = 1;

//if(minCurrent>1)//这里不需要，因为通过交换即可，只需要一个

// minCurrent =1;

}

return maxProduct;

}

int main(){

int a[LEN] = {4,-1,5,-2,-1,2,6,-2,1,-3};

cout<<"列表："<<endl;

for(int i=0; i<10; i++){

cout<<a[i]<<" ";

}

cout<<endl;

cout<<"最大子序列和:"<<subMaxSum(a, LEN)<<endl;

cout<<"最小子序列和:"<<subMinSum(a, LEN)<<endl;

cout<<"最小正子序列和:"<<positiveSubMinSum(a, LEN)<<endl;

cout<<"最大子序列乘积:"<<mutiSubMax(a, LEN)<<endl;

return 0;

}