最大无法表示成px+qy（x>=0,y>=0)的数

有俩个数p,q,且gcd(q,p)（最大公约数）=1,则最大无法表示成px+qy（x>=0,y>=0)的数是pq-q-p（对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy；而pq-q-p,就无法表示成px+qy）。

x>=0,y>=0很重要。
1.
假设可以表示为pq-q-p
那么
px+qy=pq-q-p
p(x+1)+q(y+1)=pq
p|y+1, q|x+1             //整除
又p(x+1),q(y+1)<=pq
有(x+1=kq且y+1=(1-k)q)或(x+1=(1-k)p,且y+1=kp),k是正整数
但是x,y>=0故pq-q-p,就无法表示成px+qy
2.
(p-1)(q-1)=pq-p-q+1
对于n>pq-q-p即n>=(q-1)(p-1)
gcd(p,q)=1
对于z<min{p,q}存在a,b使得ap+bq=z
不妨设a>0>b,显然a>0
那么如果a>q,取a1=a-q,b1=b+p
那么有a1*p+b1*q=z.
如果a1>q，可以继续以得到
Ap+Bq=z,且0<|A|<q,0<|B|<p
pq-p-q=(p-1)q-q=(q-1)p-p
对于n>pq-q-p
n=pq-q-p+k*min{p,q}+r
r<z<min{p,q}
那么取A,B
Ap+Bq=r,且0<|A|<q,0<|B|<p
不妨设A>0
n=pq-q-p+k*min{p,q}+r
=(q-1)p-p+k*min{p,q}+Ap+Bq
=(A-1)p+(B+q-1)p+k*min{p,q}
其中(A-1),(B+q-1)>=0
那么无论min{p,q}是p还是q，都有
对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy