高斯消元

突然发现，学了线性代数，高斯似乎很简单。郁闷。

高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。

高斯消元法的原理是：

若用初等行变换将增广矩阵 化为 ，则AX = B与CX = D是同解方程组。

所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。

以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。

首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：

(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)

1. 把方程组转换成增广矩阵。

2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。

枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。

3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。

① 无解

当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。

② 唯一解

条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。

③ 无穷解。

条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。

这里单独介绍下这种解法：

首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。

以上介绍的是求解整数线性方程组的求法，复杂度是O(n3)。浮点数线性方程组的求法类似，但是要在判断是否为0时，加入EPS，以消除精度问题。

下面讲解几道OJ上的高斯消元法求解线性方程组的题目：

POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1222

POJ 1681 Painter's Problem

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1681

POJ 1753 Flip Game

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1753

POJ 1830 开关问题

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1830

POJ 3185 The Water Bowls

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3185

开关窗户，开关灯问题，很典型的求解线性方程组的问题。方程数和变量数均为行数*列数，直接套模板求解即可。但是，当出现无穷解时，需要枚举解的情况，因为无法判断哪种解是题目要求最优的。

POJ 2947 Widget Factory

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2947

求解同余方程组问题。与一般求解线性方程组的问题类似，只要在求解过程中加入取余即可。

注意：当方程组唯一解时，求解过程中要保证解在[3, 9]之间。

POJ 1166 The Clocks

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1166

经典的BFS问题，有各种解法，也可以用逆矩阵进行矩阵相乘。

但是这道题用高斯消元法解决好像有些问题(困扰了我N天...持续困扰中...)，由于周期4不是素数，故在求解过程中不能进行取余(因为取余可能导致解集变大)，但最后求解集时，还是需要进行取余操作，那么就不能保证最后求出的解是正确的...在discuss里提问了好几天也没人回答...希望哪位路过的大牛指点下～～

POJ 2065 SETI

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2065

同样是求解同余方程组问题，由于题目中的p是素数，可以直接在求解时取余，套用模板求解即可。(虽然AC的人很少，但它还是比较水的一道题，)

POJ 1487 Single-Player Games

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1487

很麻烦的一道题目...题目中的叙述貌似用到了编译原理中的词法定义(看了就给人不想做的感觉...)

解方程组的思想还是很好看出来了(前提是通读题目不下5遍...)，但如果把树的字符串表达式转换成方程组是个难点，我是用栈 + 递归的做法分解的。首先用栈的思想求出该结点的孩子数，然后递归分别求解各个孩子。

这题解方程组也与众不同...首先是求解浮点数方程组，要注意精度问题，然后又询问不确定的变元，按前面说的方法求解。

一顿折腾后，这题居然写了6000+B...而且囧的是巨人C++ WA，G++ AC，可能还是精度的问题吧...看这题目，看这代码，就没有改的欲望...

hdu OJ 2449

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2449

哈尔滨现场赛的一道纯高斯题，当时鹤牛敲了1个多小时...主要就是写一个分数类，套个高精模板(偷懒点就Java...)搞定～～

注意下0和负数时的输出即可。

fze OJ 1704

http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1704

福大月赛的一道题目，还是经典的开关问题，但是方程数和变元数不同(考验模板的时候到了～～)，最后要求增广阵的阶，要用到高精度～～

Sgu 275 To xor or not to xor

http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=275

题解:

http://hi.baidu.com/czyuan_acm/blog/item/be3403d32549633d970a16ee.html