【算法导论】排序 （二）：堆排序

四、（1）堆排序

第一次听堆排序是在107lab听忠哥讲的，但是没讲怎么实现。那时刚看了数据结构的二叉树，还以为要通过指针建立二叉树的方式来实现，觉得挺难的。

其实堆排序实现没有想象中的那么难。

“堆”这个词最初是在堆排序中提出来的，但后来就逐渐指”废料收集储存区“，就像程序设计语言Lisp和Java中所提供的设施那样。我们这里的堆数据结构不是废料收集存储区。

堆排序的运行时间与归并排序一样为O(n lg n), 但是一种原地（in place）排序。

（二叉）堆数据结构是一种数组对象，它可以被视为一棵完全二叉树。

对于一个数组arr[ ]={16,14,10,8,7,9,3,2,4,1}的存储数据结构如下图：



在这个结构中，对于每一个根节点i ，要保证它都比他的子节点大

我们可以用一个数组A【1...length【A】】来表示这个完全二叉树结构。 其中A【1】为根节点1

首先问题是求父节点、左儿子、右儿子的坐标，通过观察我们可以用宏或者内联函数实现：

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// 根据某节点下标i, 计算父节点、左儿子、右儿子的下标

inline int Parent(int i) { return i>>1; }

inline int Left(int i) { return i<<1; }

inline int Right(int i) { return (i<<1)|1; } //位运算乘2后,结果是偶数所以最后一位一定是0, 所以|1将会把最后一位变成1，从而实现加1的效果

无论是《C++ primer》还是《Effective C++》，都讲过宏的缺陷，用内联函数是个更好的选择。位运算做乘除的速度更快。

至于算法演示过程在《算法导论》上讲得很详细，不再赘述。

堆排序过程需要以下三个函数：

1、Max-Heapify(A,i) : 保持堆的性质,让A【i】在最大堆中“下降”，使以i节点为根的字数成为最大树



2、Buid-Max-Heap(A) ： 自底向上将数组A【1...n】变成一个最大堆



3、Heap-Sort（A）： 进行堆排序







C++代码实现：（数组A是下标1开始的）

[cpp] view
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/* 算法导论 第6章 堆排序 */

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;





// 根据某节点下标i, 计算父节点、左儿子、右儿子的下标

inline int Parent(int i) { return i>>1; }

inline int Left(int i) { return i<<1; }

inline int Right(int i) { return (i<<1)|1; } //位运算乘2后,结果是偶数所以最后一位一定是0, 所以|1将会把最后一位变成1，从而实现加1的效果





inline void Swap(int &a,int &b) { if(a!=b){a^=b; b^=a; a^=b;} }





/*

堆排序的基本过程函数：



MaxHeap(A,len,i): 其运行时间为O(lgN),是保持最大堆性质的关键

BuidMaxHeap(A): 过程，以线性时间运行，可以在无需的输入数组基础上构造出最大堆

HeapSort(A): 对一个数组原地进行排序



*/



// 保持堆的性质，使以i为根的子树成为最大堆

void MaxHeap(int *A,int heap_size,int i){



int l,r,max;

l = Left(i);

r = Right(i);



if(l<=heap_size && A[l]>A[i])

max=l;

else

max=i;



if(r<=heap_size && A[r]>A[max])

max=r;



if(max!=i){

Swap(A[i],A[max]);

MaxHeap(A,heap_size,max);

}

}



// 建堆，自底向上用MaxHeap将整个数组变成一个最大堆

void BuidMaxHeap(int *A,int heap_size){



for(int i=heap_size>>1; i>=1; --i){

MaxHeap(A,heap_size,i);

}

}



// 堆排序

void HeapSort(int *A,int heap_size){



BuidMaxHeap(A,heap_size);

int len=heap_size;

for(int i=heap_size; i>=2; --i){

Swap(A[1], A[i]);

--len;

MaxHeap(A,len,1);

}

}

（2）优先级队列

C++ STL中的priority_queue就是用这种方法来实现的。

1、Heap-MaxiNum（A）： 取出堆中的最大值



2、Heap-Extract-Max（A）： 删除堆中的最大值并返回它的值



3、Heap-Increase-Key（A，i，key）：将节点i的值增加到key，这里key要比i节点原来的数大。



4、Max-Heap-Insert(A, key): 插入一个新元素key到堆中，要用到3的函数



C++实现：

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// 优先级队列



int HeapMaxNum(int *A){

return A[1];

}



int HeapExtractMax(int *A,int heap_size){

if(heap_size>=1){

int max=A[1];

A[1] = A[heap_size];

--heap_size;

MaxHeap(A,heap_size,1);

return max;

}

}



bool HeapIncreaseKey(int *A,int i,int key){

if(key<A[i])

return false;

A[i] = key;

while(i>1 && A[Parent(i)]<A[i]){

Swap(A[i],A[Parent(i)]);

i = Parent(i);

}

return true;

}



void MaxHeapInsert(int *A,int key,int heap_size){

++heap_size;

A[heap_size] = -2147484646;

HeapIncreaseKey(A,heap_size,key);

}



—— 生命的意义，在于赋予它意义。

原创 http://blog.csdn.net/shuangde800 ， By
D_Double