【专题】图的连通性问题---无向图的点连通性的求解及应用

1.求割点:

(1).朴素的方法:n^3

(2).Tarjan求割点:n^2

顶点u是割点的充要条件:

1.如果顶点u是深度优先搜索生成树的根,则u至少有两个子女.

2.如果u不是生成树的根,则它至少有一个子女w,从w出发,不可能通过w、w的子孙,以及一条回边组成的路径到达u的祖先.

(low[w]>=dfn[u]).

去掉割点,将原来的连通图分成了几个连通分量?

1.如果割点u是根结点,则有几个子女,就分成了几个连通分量.

2.如果割点u不是根结点,则有d个子女w,使得low[w]>=dfn[u],则去掉该结点,分成了d+1个连通分量。

下面是一段求割点的代码:

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/*Source Code
Problem: 1966  User: HEU_daoguang
Memory: 1056K  Time: 16MS
Language: G++  Result: Accepted
Source Code*/
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
#define V 300
#define E 30000
#define inf 0xffff
int map[V][2];
int flag[V][V];
struct Edge
{
int u,v,c,next;
}edge[E];
int n,m,cnt;
int dist[V];
int head[V];
int que[V];
int sta[V];
int s,t;
void init(){
cnt=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
}
void addedge(int u,int v,int c){
edge[cnt].u=u;edge[cnt].v=v;edge[cnt].c=c;
edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;
edge[cnt].u=v;edge[cnt].v=u;edge[cnt].c=0;
edge[cnt].next=head[v];head[v]=cnt++;
}

int dinic(int s,int t){
int ans=0;
while(true){
int left,right,u,v;
memset(dist,-1,sizeof(dist));
left=right=0;
que[right++]=s;
dist[s]=0;

while(left<right){
u=que[left++];
for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next){
u=edge[k].u;
v=edge[k].v;
if(edge[k].c > 0 && dist[v]==-1){
dist[v]=dist[u]+1;
que[right++]=v;
if(v==t){
left=right;
break;
}
}
}
}

if(dist[t]==-1) break;

int top=0;
int now=s;

while(true){
if(now!=t){
int k;
for(k=head[now];k!=-1;k=edge[k].next){
if(edge[k].c>0 && dist[edge[k].v]==dist[edge[k].u]+1) break;
}
if(k!=-1){
sta[top++]=k;
now=edge[k].v;
}
else{
if(top==0) break;
dist[edge[sta[--top]].v]=-1;
now=edge[sta[top]].u;
}
}
else{
int flow=inf,ebreak;
for(int i=0;i<top;i++){
if(flow>edge[sta[i]].c){
flow=edge[sta[i]].c;
ebreak=i;
}
}
ans+=flow;
for(int i=0;i<top;i++){
edge[sta[i]].c-=flow;
edge[sta[i]^1].c+=flow;
}
now=edge[sta[ebreak]].u;
top=ebreak;
}
}
}
return ans;
}

void build(int x,int y,int ver,int n,int m){
init();
for(int i=1;i<=n;i++){
addedge(i,i+n,1);
}
for(int i=0;i<m;i++){
addedge(map[i][0]+n,map[i][1],inf);
addedge(map[i][1]+n,map[i][0],inf);
}
addedge(x,x+n,inf);
addedge(y,y+n,inf);
}

int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
int a,b;
int ver=n*2+1;
memset(map,0,sizeof(map));
memset(flag,0,sizeof(flag));
for(int i=0;i<m;i++){
scanf(" (%d,%d)",&a,&b);
a++,b++;
map[i][0]=a,map[i][1]=b;
flag[a][b]=1;
}
if(m==0){
if(n==1) printf("1\n");
else printf("0\n");
continue;
}
int pre,ans=inf,sign=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
if(!flag[i][j]){
sign=1;
build(i,j,ver,n,m);
ans=min(ans,dinic(i,j+n));
}
}
}
if(sign){
printf("%d\n",ans);
}
else{
printf("%d\n",n);
}
}
return 0;
}

Stoer-Wagner算法:O(n^3),见博客L:

/article/6193857.html