如何用栈实现递归与非递归的转换

原文链接：http://www.chinaunix.net/jh/23/331522.html

一.为什么要学习递归与非递归的转换的实现方法?

   1)并不是每一门语言都支持递归的.

   2)有助于理解递归的本质.

   3)有助于理解栈,树等数据结构.

二.递归与非递归转换的原理.

   递归与非递归的转换基于以下的原理:所有的递归程序都可以用树结构表示出来.需要说明的是,

这个"原理"并没有经过严格的数学证明,只是我的一个猜想,不过在至少在我遇到的例子中是适用的.

   学习过树结构的人都知道,有三种方法可以遍历树:前序,中序,后序.理解这三种遍历方式的递归和非

递归的表达方式是能够正确实现转换的关键之处,所以我们先来谈谈这个.需要说明的是,这里以特殊的

二叉树来说明,不过大多数情况下二叉树已经够用,而且理解了二叉树的遍历,其它的树遍历方式就不难

了.

1)前序遍历

a)递归方式:

void preorder_recursive(Bitree T)		/* 先序遍历二叉树的递归算法 */

{

if (T) {

visit(T); 			/* 访问当前结点 */

preorder_recursive(T->;lchild);	/* 访问左子树 */

preorder_recursive(T->;rchild);	/* 访问右子树 */

}

}

b)非递归方式

void preorder_nonrecursive(Bitree T)		/* 先序遍历二叉树的非递归算法 */

{

initstack(S);

push(S,T); 				/* 根指针进栈 */

while(!stackempty(S)) {

while(gettop(S,p)&&p) {		/* 向左走到尽头 */

visit(p);		/* 每向前走一步都访问当前结点 */

push(S,p->;lchild);

}

pop(S,p);

if(!stackempty(S)) {		/* 向右走一步 */

pop(S,p);

push(S,p->;rchild); 

}

}

}

2)中序遍历

a)递归方式

void inorder_recursive(Bitree T)		/* 中序遍历二叉树的递归算法 */

{

if (T) {

inorder_recursive(T->;lchild);	/* 访问左子树 */

visit(T); 			/* 访问当前结点 */

inorder_recursive(T->;rchild);	/* 访问右子树 */

}

}

b)非递归方式

void  inorder_nonrecursive(Bitree T)

{

initstack(S);				/* 初始化栈 */

push(S, T);				/* 根指针入栈 */

while (!stackempty(S)) {

while (gettop(S, p) && p) 	/* 向左走到尽头 */

push(S, p->;lchild);

pop(S, p);			/* 空指针退栈 */

if (!stackempty(S)) {

pop(S, p);

visit(p);		/* 访问当前结点 */

push(S, p->;rchild);	/* 向右走一步 */

}

}

}

3)后序遍历

a)递归方式

void postorder_recursive(Bitree T)		/* 中序遍历二叉树的递归算法 */

{

   if (T) {

   postorder_recursive(T->;lchild);	/* 访问左子树 */

   postorder_recursive(T->;rchild);	/* 访问右子树 */

   visit(T); 				/* 访问当前结点 */

   }

}

b)非递归方式

typedef struct {

BTNode* ptr;

enum {0,1,2} mark;

} PMType; 					/* 有mark域的结点指针类型 */

void postorder_nonrecursive(BiTree T)		/* 后续遍历二叉树的非递归算法 */

{

PMType a;

initstack(S); 				/* S的元素为PMType类型 */

push (S,{T,0}); 			/* 根结点入栈 */

while(!stackempty(S)) {

pop(S,a);

switch(a.mark)

{

case 0:

push(S,{a.ptr,1}); 	/* 修改mark域 */

if(a.ptr->;lchild) 

push(S,{a.ptr->;lchild,0}); /* 访问左子树 */

break;

case 1:

push(S,{a.ptr,2}); 	/* 修改mark域 */

if(a.ptr->;rchild) 

push(S,{a.ptr->;rchild,0}); /* 访问右子树 */

break;

case 2:

visit(a.ptr); 		/* 访问结点 */

}

}

}

       4)如何实现递归与非递归的转换

          通常,一个函数在调用另一个函数之前,要作如下的事情:a)将实在参数,返回地址等信息传递

       给被调用函数保存; b)为被调用函数的局部变量分配存储区;c)将控制转移到被调函数的入口.

          从被调用函数返回调用函数之前,也要做三件事情:a)保存被调函数的计算结果;b)释放被调

       函数的数据区;c)依照被调函数保存的返回地址将控制转移到调用函数.

          所有的这些,不论是变量还是地址,本质上来说都是"数据",都是保存在系统所分配的栈中的.

  ok,到这里已经解决了第一个问题:递归调用时数据都是保存在栈中的,有多少个数据需要保存

       就要设置多少个栈,而且最重要的一点是:控制所有这些栈的栈顶指针都是相同的,否则无法实现

       同步.

          下面来解决第二个问题:在非递归中,程序如何知道到底要转移到哪个部分继续执行?回到上

       面说的树的三种遍历方式,抽象出来只有三种操作:访问当前结点,访问左子树,访问右子树.这三

       种操作的顺序不同,遍历方式也不同.如果我们再抽象一点,对这三种操作再进行一个概括,可以

       得到:a)访问当前结点:对目前的数据进行一些处理;b)访问左子树:变换当前的数据以进行下一次

       处理;c)访问右子树:再次变换当前的数据以进行下一次处理(与访问左子树所不同的方式).

          下面以先序遍历来说明:

void preorder_recursive(Bitree T)		/* 先序遍历二叉树的递归算法 */

{

if (T) {

visit(T); 			/* 访问当前结点 */

preorder_recursive(T->;lchild);	/* 访问左子树 */

preorder_recursive(T->;rchild);	/* 访问右子树 */

}

}

   visit(T)这个操作就是对当前数据进行的处理, preorder_recursive(T->;lchild)就是把当前

数据变换为它的左子树,访问右子树的操作可以同样理解了.

   现在回到我们提出的第二个问题:如何确定转移到哪里继续执行?关键在于一下三个地方:a)

确定对当前数据的访问顺序,简单一点说就是确定这个递归程序可以转换为哪种方式遍历的树结

构;b)确定这个递归函数转换为递归调用树时的分支是如何划分的,即确定什么是这个递归调用

树的"左子树"和"右子树"c)确定这个递归调用树何时返回,即确定什么结点是这个递归调用树的

"叶子结点".

三.三个例子

   好了上面的理论知识已经足够了,下面让我们看看几个例子,结合例子加深我们对问题的认识

.即使上面的理论你没有完全明白,不要气馁,对事物的认识总是曲折的,多看多想你一定可以明

白(事实上我也是花了两个星期的时间才弄得比较明白得).

   

        1)例子一:

f(n) = 　n + １;	(n <２)　

　　　　 f[n/2] + f[n/4](n >;= 2);

这个例子相对简单一些,递归程序如下:

int	f_recursive(int n)

{

int u1, u2, f;

if (n < 2) 

f = n + 1;

else {

u1 = f_recursive((int)(n/2));

u2 = f_recursive((int)(n/4));

f = u1 * u2;											 

}

return f;

}

   下面按照我们上面说的,确定好递归调用树的结构,这一步是最重要的.首先,什么是叶子结点

,我们看到当n < 2时f = n + 1,这就是返回的语句,有人问为什么不是f = u1 * u2,这也是一个

返回的语句呀?答案是:这条语句是在u1 = exmp1((int)(n/2))和u2 = exmp1((int)(n/4))之后

执行的,是这两条语句的父结点. 其次,什么是当前结点,由上面的分析,f = u1 * u2即是父结点

.然后,顺理成章的u1 = exmp1((int)(n/2))和u2 = exmp1((int)(n/4))就分别是左子树和右子

树了.最后,我们可以看到,这个递归函数可以表示成后序遍历的二叉调用树.好了,树的情况分析

到这里,下面来分析一下栈的情况,看看我们要把什么数据保存在栈中,在上面给出的后序遍历的如果这个过程你没

非递归程序中我们已经看到了要加入一个标志域,因此在栈中要保存这个标志域;另外,u1,u2和

每次调用递归函数时的n/2和n/4参数都要保存,这样就要分别有三个栈分别保存:标志域,返回量

和参数,不过我们可以做一个优化,因为在向上一层返回的时候,参数已经没有用了,而返回量也

只有在向上返回时才用到,因此可以把这两个栈合为一个栈.如果对于上面的分析你没有明白,建

议你根据这个递归函数写出它的递归栈的变化情况以加深理解,再次重申一点:前期对树结构和

栈的分析是最重要的,如果你的程序出错,那么请返回到这一步来再次分析,最好把递归调用树和

栈的变化情况都画出来,并且结合一些简单的参数来人工分析你的算法到底出错在哪里.

    ok,下面给出我花了两天功夫想出来的非递归程序(再次提醒你不要气馁,大家都是这么过来

的).

int	f_nonrecursive(int n)

{

int stack[20], flag[20], cp;

 

/* 初始化栈和栈顶指针 */

cp = 0;

stack[0] = n;

flag[0] = 0;

while (cp >;= 0) {

switch(flag[cp]) {

case 0: 			/* 访问的是根结点 */

if (stack[cp] >;= 2) {	/* 左子树入栈 */

flag[cp] = 1; 	/* 修改标志域 */

cp++;

stack[cp] = (int)(stack[cp - 1] / 2);

flag[cp] = 0;

} else { 		/* 否则为叶子结点 */

stack[cp] += 1;

flag[cp] = 2;

}

break;

case 1: 			/* 访问的是左子树 */

if (stack[cp] >;= 2) {	/* 右子树入栈 */

flag[cp] = 2; 	/* 修改标志域 */

cp += 2;

stack[cp] = (int)(stack[cp - 2] / 4);

flag[cp] = 1;

} else { 		/* 否则为叶子结点 */

stack[cp] += 1;

flag[cp] = 2;

}

break;

case 2:				 /* */

if (flag[cp - 1] == 2) { /* 当前是右子树吗? */

/* 

 * 如果是右子树, 那么对某一棵子树的后序遍历已经

 * 结束,接下来就是对这棵子树的根结点的访问

 */

stack[cp - 2] = stack[cp] * stack[cp - 1];

flag[cp - 2] = 2;

cp = cp - 2;

} else 

/* 否则退回到后序遍历的上一个结点 */

cp--;

break;

}

}

return stack[0];

}

           算法分析:a)flag只有三个可能值:0表示第一次访问该结点,1表示访问的是左子树,2表示

已经结束了对某一棵子树的访问,可能当前结点是这棵子树的右子树,也可能是叶子结点.b)每

遍历到某个结点的时候,如果这个结点满足叶子结点的条件,那么把它的flag域设为2;否则根据

访问的是根结点,左子树或是右子树来设置flag域,以便决定下一次访问该节点时的程序转向.

2)例子二

快速排序算法

递归算法如下:

void	swap(int array[], int low, int high)

{

int temp;

temp = array[low];

array[low] = array[high];

array[high] = temp;

}

int	partition(int array[], int low, int high)

{

int	p;

p = array[low];

while (low < high) {

while (low < high && array[high] >;= p) 

high--;

swap(array,low,high);

while (low < high && array[low]  <= p) 

low++;

swap(array,low,high);

}

return low;

}

void	qsort_recursive(int array[], int low, int high)

{

int p;

if(low < high) {

p = partition(array, low, high);

qsort_recursive(array, low, p - 1);

qsort_recursive(array, p + 1, high);

}

}

   需要说明一下快速排序的算法: partition函数根据数组中的某一个数把数组划分为两个部分,

左边的部分均不大于这个数,右边的数均不小于这个数,然后再对左右两边的数组再进行划分.这

里我们专注于递归与非递归的转换,partition函数在非递归函数中同样的可以调用(其实

partition函数就是对当前结点的访问).

   再次进行递归调用树和栈的分析:

   递归调用树:a)对当前结点的访问是调用partition函数;b)左子树:

qsort_recursive(array, low, p - 1);c)右子树:qsort_recursive(array, p + 1, high);

d)叶子结点:当low < high时;e)可以看出这是一个先序调用的二叉树

   栈:要保存的数据是两个表示范围的坐标.

   

void	qsort_nonrecursive(int array[], int low, int high)

{

int m[50], n[50], cp, p; 

/* 初始化栈和栈顶指针 */

cp = 0;

m[0] = low;

n[0] = high;

while (m[cp] < n[cp]) {

while (m[cp] < n[cp]) {	/* 向左走到尽头 */

p = partition(array, m[cp], n[cp]); /* 对当前结点的访问 */

cp++;

m[cp] = m[cp - 1];

n[cp] = p - 1;

}

/* 向右走一步 */

m[cp + 1] = n[cp] + 2;

n[cp + 1] = n[cp - 1];

cp++;

}

}

3)例子三

阿克曼函数:

akm(m, n) = n + 1;			(m = 0时)

    akm(m - 1, 1);		(n = 0时)

    akm(m - 1, akm(m, n - 1));	(m != 0且n != 0时)

    

递归算法如下:

int	akm_recursive(int m, int n)

{

int temp;

if (m == 0) 

return (n + 1);

else if (n == 0) 

return akm_recursive(m - 1, 1);

else {

temp = akm_recursive(m, n - 1);

return akm_recursive(m - 1, temp);

}

}

这道题的难点就是确定递归调用树的情况,因为从akm函数的公式可以看到,有三个递归调用,一般

而言,有几个递归调用就会有几棵递归调用的子树,不过这只是一般的情况,不一定准确,也不一定非要

机械化的这么作,因为通常情况下我们可以做一些优化,省去其中的一些部分,这道题就是一个例子.

    递归调用树的分析:a)是当m=0时是叶子结点;b)左子树是akm(m - 1, akm(m, n - 1))调用中的

akm(m, n - 1)调用,当这个调用结束得出一个值temp时,再调用akm(m - 1, temp),这个调用是右子树

.c)从上面的分析可以看出,这个递归调用树是后序遍历的树.

    栈的分析:要保存的数据是m, n,当n = 0 或 m = 0时开始退栈,当n = 0时把上一层栈的m值变为

m - 1,n变为1，当m = 0时把上一层栈的m值变为0,n变为n + 1.从这个分析过程可以看出,我们省略了

当n = 0时的akm(m - 1, 1)调用,原来在系统机械化的实现递归调用的过程中,这个调用也是一棵子树,

不过经过分析,我们用修改栈中数据的方式进行了改进.

int	akm_nonrecursive(int m, int n)

{

int m1[50], n1[50], cp;

cp = 0;

m1[0] = m;

n1[0] = n;

do {

while (m1[cp] >; 0) { 		/* 压栈, 直到m1[cp] = 0 */

while (n1[cp] >; 0) { 	/* 压栈, 直到n1[cp] = 0 */

cp++;

m1[cp] = m1[cp - 1];

n1[cp] = n1[cp - 1] - 1;

}

/* 计算akm(m - 1, 1),当n = 0时 */

m1[cp] = m1[cp] - 1;

n1[cp] = 1;

}

/* 改栈顶为akm(m - 1, n + 1),当m = 0时 */

cp--;

m1[cp] = m1[cp] - 1;

n1[cp] = n1[cp + 1] + 1;

} while (cp >; 0 || m1[cp] >; 0);

return n1[0] + 1;

}