求解最大字段和的几种方法

[b]问题定义： [/b]

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a
,求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值(0<i<j<n)。当所给的整均为负数时定义子段和为0，依此定义，比如{5,-3,4,2}的最大子序列就是 {5,-3,4,2}，它的和是8,达到最大；而 {5,-6,4,2}的最大子序列是{4,2}，它的和是6。

方法一：学过程序设计的都会，那就是枚举i和j，求i和a[i]到a[j]之间的和的最大值。

int maxsub(int *a,int n)

{

　　int i,j,k,maxn=0;

　　for(i = 0 ; i < n ; i++)

　　{

　　　　for(j = i+1 ; j < n ;j++)

　　　　{

　　　　　　int temp_max = 0 ;

　　　　　　for(k = i ; k <= j ;k++)

　　　　　　{

　　　　　　　　temp_max+=a[k];

　　　　　　}

　　　　　　if(temmax > maxn)

　　　　　　{

　　　　　　　　maxn = temp_max;

　　　　　　}

　　　　}

　　}

　　return maxn;

}

时间复杂度O（n^3）。这显然是不能接受滴。其实这其中进行了大量的重复计算。

方法二：

可以把字段和结果线计算出来啊，存储到s[]数组中，即预处理

int sum = 0.s
;

for(i = 0 ; i < n ; i++)

{

　　sum+=a[i];

　　s[i]=sum;

}

这样在每次计算a[i]到a[j]之间的数和的时候就等于s[j]-s[i]。如此优化时间复杂度变为O（n^2）.好一些了，能不能优化呢？显然在优化就是O（n*logn）和O（n）了吧！

方法三：

考虑能不能有O（n*logn）的算法呢？当然有了……

如果将给定的序列a[1..n]分成长度相等的两段a[1..n/2]和a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大字段和。则该给定序列的最大字段和有三种情行：

1）和a[1..n/2]的最大字段和相同。

2）和a[n/2+1:n]的最大字段和相同。

3）最大字段和包含两部分，一部分在中，另一部分在a[n/2+1..n]中。

前两种情形我们可以用递归方法求出，第三种情形可以分别求出两部分的最大字段和值再相加（注：a[1..n/2]这部分求最大字段和要以a[n/2]结束，a[n/2+1..n] 这部分求最大字段和要以a[n/2+1]开始）。序列的最大字段和即为这三种情形的最大值。

int maxSubItem(int *a,int low,int high)

{

　　int s1,s2,s31,s32,i,j;

　　int sum;

　　int mid = ( low + high ) / 2;

　　if(low == high)

　　　　return a[low];

　　else

　　{

　　　　s1 = maxSubItem(a,low,mid);

　　　　s2 = maxSubItem(a,mid+1,high);

　　　　i = mid;

　　　　s31 = a[mid];

　　　　while ((s31 + a[i-1] > s31) && (i > low))

　　　　{

　　　　　　s31 += a[i-1];

　　　　　　i--;

　　　　}

　　　　j = mid + 1;

　　　　s32 = a[mid + 1];

　　　　while ((s32 + a[j + 1] > s32) && (j < high))

　　　　{

　　　　　　s32 += a[j + 1];

　　　　　　j++;

　　　　}

　　　　sum = s31 + s32;

　　　　if(sum < s1) sum = s1;

　　　　if(sum < s2) sum = s2;

　　}

}

这种情况下，显然时间复杂度为O(n*logn)。要是有O（n）的算法该多好呢？事实上还真有。这自然就是要想到动态规划了吧！！！

方法四：

int maxsub(int a,int n)

{

　　int temp = 0,maxn = -INF,k=1

　　int start,end;

　　for(i = 1 ; i <= n ;i++)

　　{

　　　　temp+=a[i];

　　　　if(temp > maxn)

　　　　{

　　　　　　maxn = temp;start = k ;end = i;

　　　　}

　　　　if(temp < 0)

　　　　{

　　　　　　temp = 0;k = i+1;

　　　　}

　　}

　　return maxn;

}

分析一下这个算法，借用了一个临时变量temp，其实有三种情况：

1. 若temp>maxn则更新maxn，并保存开始和结束位置；

2. 若temp<0则令temp = 0，因为temp<0则不可能继续用temp更新最大值了；

3. 若0<temp<maxn，则不作操作，这是temp被认为是有潜力的，可能会用来更新后面的值。这样的一次遍历搜索到了所有的最大值。

（temp的使用时关键，好好理解这种思想。理解不了也没关系，这是比较难想的方法。）