【最大流】【NOI2009】植物大战僵尸

【问题描述】
Plants vs. Zombies（PVZ）是最近十分风靡的一款小游戏。Plants（植物）和Zombies（僵尸）是游戏的主角，其中Plants防守，而Zombies进攻。该款游戏包含多种不同的挑战系列，比如Protect Your Brain、Bowling等等。其中最为经典的，莫过于玩家通过控制Plants来防守Zombies的进攻，或者相反地由玩家通过控制Zombies对Plants发起进攻。
现在，我们将要考虑的问题是游戏中Zombies对Plants的进攻，请注意，本题中规则与实际游戏有所不同。游戏中有两种角色，Plants和Zombies，每个Plant有一个攻击位置集合，它可以对这些位置进行保护；而Zombie进攻植物的方式是走到植物所在的位置上并将其吃掉。
游戏的地图可以抽象为一个N行M列的矩阵，行从上到下用0到N–1编号，列从左到右用0到M–1编号；在地图的每个位置上都放有一个Plant，为简单起见，我们把位于第r行第c列的植物记为Pr, c。
Plants分很多种，有攻击类、防守类和经济类等等。为了简单的描述每个Plant，定义Score和Attack如下：
Score[Pr, c]：Zombie击溃植物Pr, c可获得的能源。若Score[Pr, c]为非负整数，则表示击溃植物Pr, c可获得能源Score[Pr, c]，若为负数表示击溃Pr, c需要付出能源 -Score[Pr, c]。
Attack[Pr, c]：植物Pr, c能够对Zombie进行攻击的位置集合。
Zombies必须从地图的右侧进入，且只能沿着水平方向进行移动。Zombies攻击植物的唯一方式就是走到该植物所在的位置并将植物吃掉。因此Zombies的进攻总是从地图的右侧开始。也就是说，对于第r行的进攻，Zombies必须首先攻击Pr, M-1；若需要对Pr, c（0≤c<M-1）攻击，必须将Pr,M-1, Pr, M-2 … Pr, c+1先击溃，并移动到位置(r, c)才可进行攻击。
在本题的设定中，Plants的攻击力是无穷大的，一旦Zombie进入某个Plant的攻击位置，该Zombie会被瞬间消灭，而该Zombie没有时间进行任何攻击操作。因此，即便Zombie进入了一个Plant所在的位置，但该位置属于其他植物的攻击位置集合，则Zombie会被瞬间消灭而所在位置的植物则安然无恙（在我们的设定中，Plant的攻击位置不包含自身所在位置，否则你就不可能击溃它了）。
Zombies的目标是对Plants的阵地发起进攻并获得最大的能源收入。每一次，你可以选择一个可进攻的植物进行攻击。本题的目标为，制定一套Zombies的进攻方案，选择进攻哪些植物以及进攻的顺序，从而获得最大的能源收入。
【输入文件】
输入文件pvz.in的第一行包含两个整数N, M，分别表示地图的行数和列数。
接下来N×M行描述每个位置上植物的信息。第r×M + c + 1行按照如下格式给出植物Pr, c的信息：第一个整数为Score[Pr, c], 第二个整数为集合Attack[Pr, c]中的位置个数w，接下来w个位置信息（r’, c’），表示Pr, c可以攻击位置第r’ 行第c’ 列。
【输出文件】
输出文件pvz.out仅包含一个整数，表示可以获得的最大能源收入。注意，你也可以选择不进行任何攻击，这样能源收入为0。
【输入样例】
3 2
10 0
20 0
-10 0
-5 1 0 0
100 1 2 1
100 0
【输出样例】
25
【样例说明】
在样例中, 植物P1,1可以攻击位置(0,0), P2, 0可以攻击位置(2,1)。
一个方案为，首先进攻P1,1, P0,1，此时可以攻击P0,0 。共得到能源收益为(-5)+20+10 = 25。注意, 位置(2,1)被植物P2,0保护，所以无法攻击第2行中的任何植物。
【大致数据规模】
约20%的数据满足1 ≤ N, M ≤ 5；
约40%的数据满足1 ≤ N, M ≤ 10；
约100%的数据满足1 ≤ N ≤ 20，1 ≤ M ≤ 30，-10000 ≤ Score ≤ 10000直接深搜可以拿40分。

方法是每次枚举每一行，若当前最右边的格子不被保护，那么可以攻击。最后取出所有攻击方案中的最大收益即可。
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstring>
#define pos(i, j) ((i) * m + (j))
#define _x_(u) ((u) / m)
#define _y_(u) ((u) % m)

const int maxR = 40, maxN = 610;
struct Edge
{
int v; Edge *next; Edge() {}
Edge(int v, Edge *next): v(v), next(next) {}
} *edge[maxN];
int prot[maxN], score[maxN], top[maxR], n, m, ans;

inline void eat(int u)
{
for (Edge *p = edge[u]; p; p = p -> next) --prot[p -> v];
--top[_x_(u)];
return;
}

inline void uneat(int u)
{
for (Edge *p = edge[u]; p; p = p -> next) ++prot[p -> v];
if (top[_x_(u)] < _y_(u)) top[_x_(u)] = _y_(u);
return;
}

void Dfs(int Now)
{
for (int i = n - 1; i > -1; --i)
if (top[i] > -1 && !prot[pos(i, top[i])])
{
int u = pos(i, top[i]);
eat(u); Dfs(Now + score[u]); uneat(u);
}
if (Now > ans) ans = Now;
return;
}

inline int getint()
{
int res = 0; char tmp; bool sgn = 1;
do tmp = getchar();
while (!isdigit(tmp) && tmp - '-');
if (tmp == '-') sgn = 0, tmp = getchar();
do res = (res << 3) + (res << 1) + tmp - '0';
while (isdigit(tmp = getchar()));
return sgn ? res : -res;
}

int main()
{
freopen("pvz.in", "r", stdin);
freopen("pvz.out", "w", stdout);
n = getint(); m = getint();
for (int i = 0; i < n; top[i++] = m - 1)
for (int j = 0; j < m; ++j)
{
score[pos(i, j)] = getint();
for (int tmp = getint(); tmp--;)
{
int x = getint(), y = getint();
edge[pos(i, j)] = new Edge(pos(x, y), edge[pos(i, j)]);
++prot[pos(x, y)];
}
}
Dfs(0); printf("%d\n", ans); return 0;
}
正解：

此题可以抽象成太空飞行计划的模型，即把负权的植物看作各种实验器材，购买实验器材有一定消耗，把正权的植物看作各个实验，完成实验有一定收益。

每一个植物都可以看作被它右边的植物保护。从每个植物向它保护的对象连一条边，那么就构成了一个有向图。

首先用一次拓扑排序将包含在环中的结点去掉，得到一个有向无环图，

然后增加超级源S，从S到每个负权点都连一条绝对值权值的边；

增加超级汇T，从每个正权点到T都连一条绝对值权值的边；

原图中的边权值全部设为正无穷。

那么最终答案就是所有正权点的权值和（不包含在环中的结点）减去最大流。

Accode：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#define pos(i, j) ((i) * m + (j) + 1)

const int maxN = 610, INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge
{
int u, v, f; Edge *next, *back; Edge() {}
Edge(int u, int v, int f, Edge *next):
u(u), v(v), f(f), next(next) {}
} *edge[maxN]; bool valid[maxN];
int d[maxN], cnt[maxN], To[maxN], score[maxN];
int n, m, N, S, T, ans;

inline void Ins(int u, int v, int f)
{
++To[v];
edge[u] = new Edge(u, v, f, edge[u]);
edge[v] = new Edge(v, u, 0, edge[v]);
edge[u] -> back = edge[v];
edge[v] -> back = edge[u];
return;
}

int Sap(int u, int Lim)
{
if (u == T) return Lim;
int tmp = 0, v;
for (Edge *p = edge[u]; p; p = p -> next)
if (p -> f > 0 && d[u] == d[v = p -> v] + 1)
{
int k = Sap(v, std::min(Lim - tmp, p -> f));
p -> f -= k;
p -> back -> f += k;
if ((tmp += k) == Lim) return tmp;
}
if (d[S] >= N) return tmp;
if (!(--cnt[d[u]])) d[S] = N; //
++cnt[++d[u]]; return tmp;
}

inline int getint()
{
int res = 0; char tmp; bool sgn = 1;
do tmp = getchar();
while (!isdigit(tmp) && tmp - '-');
if (tmp == '-') tmp = getchar(), sgn = 0;
do res = (res << 3) + (res << 1) + tmp - '0';
while (isdigit(tmp = getchar()));
return sgn ? res : -res;
}

inline void topo()
{
for (;;)
{
bool flag = 0;
for (int i = 1; i < N + 1; ++i)
if (!valid[i] && !To[i])
{
valid[i] = 1;
for (Edge *p = edge[i]; p; p = p -> next)
if (p -> f > 0 && !valid[p -> v]) --To[p -> v];
flag = 1; break;
}
if (!flag) break;
}
for (int i = 1; i < N - 1; ++i) if (!valid[i])
{
for (Edge *p = edge[i]; p; p = p -> next)
p -> back = p -> back -> next;
edge[i] = NULL;
}
else if (score[i] > 0) ans += score[i];
return;
}

int main()
{
freopen("pvz.in", "r", stdin);
freopen("pvz.out", "w", stdout);
n = getint(); m = getint();
T = N = n * m + 2; S = N - 1;
for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = 0; j < m; ++j)
{
score[pos(i, j)] = getint();
if (score[pos(i, j)] > 0)
Ins(pos(i, j), T, score[pos(i, j)]);
else Ins(S, pos(i, j), -score[pos(i, j)]);
if (j) Ins(pos(i, j), pos(i, j - 1), INF);
for (int cnt = getint(); cnt--;)
{
int x = getint(), y = getint();
Ins(pos(i, j), pos(x, y), INF);
}
}
topo(); cnt[0] = N;
while (d[S] < N) ans -= Sap(S, INF);
printf("%d\n", ans); return 0;
}