排列和组合问题

回溯法是一种深度优先搜索空间树的算法，算法基本分成两个部分试探部分和回溯部分，试探部分当满足除规模外的全部条件时扩大规模，回溯部分回溯条件有两个，当问题不是合法解和求完一个解要求下一个解的时候都要回溯。典型问题就是求组合数的问题。一般的递归在调用完了自身之后不会有动作了，而回溯不同，他在调用完了自身还是有动作的，一般是个循环，在循环中有可能不停的调用自身。

对于全排列问题，用递归算法相对比较简单，但是效率比较低，效率低的原因是因为要多次调用自己，调用函数是要开销的，而且自己调用自己的过程中会产生大量的局部变量，参数，返回地址都会压在栈中，栈的空间大效率也会降低。组排列问题一般用回溯法来解决，与n皇后问题相类似。

全排列是将一组数按一定顺序进行排列，如果这组数有n个，那么全排列数为n!个。现以{1, 2, 3, 4, 5}为例说明如何编写全排列的递归算法。

1、首先看最后两个数4, 5。 它们的全排列为4 5和5 4, 即以4开头的5的全排列和以5开头的4的全排列。由于一个数的全排列就是其本身(递归终止条件key)，从而得到以上结果。

2、再看后三个数3, 4, 5。它们的全排列为3 4 5、3 5 4、 4 3 5、 4 5 3、 5 3 4、 5 4 3 六组数。即以3开头的和4,5的全排列的组合、以4开头的和3,5的全排列的组合和以5开头的和3,4的全排列的组合.从而可以推断，设一组数p = {r1, r2, r3, ... ,rn}, 全排列为perm(p)。因此perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), ... , rnperm(pn)。当n = 1时perm(p} = r1。为了更容易理解，将整组数中的所有的数分别与第一个数交换，这样就总是在处理后n-1个数的全排列。递归的时候每个函数多次的调用自身。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;

int n = 0;

void swap(int *a, int *b) //数组交换的是地址
{
int m;
m = *a;
*a = *b;
*b = m;
}
void perm(int list[], int k, int m)
{
int i;
if(k > m) //等于也可以
{
for(i = 0; i <= m; i++)
printf("%d ", list[i]);
printf("\n");
n++;
}
else
{
for(i = k; i <= m; i++)
{
swap(&list[k], &list[i]);  //用交换就完成了所以的全排列过程
perm(list, k + 1, m);
swap(&list[k], &list[i]);  //交换完后在交换回来原来的数组
}
}
}
int main()
{
int list[] = {1, 2, 3, 4, 5};
perm(list, 0, 4);   //传递的是数组下表的
printf("total:%d\n", n);
return 0;
}

下面是组合问题：求一个字符串的所有组合。

假设我们想在长度为n的字符串中求m个字符的组合。我们先从头扫描字符串的第一个字符。针对第一个字符，我们有两种选择：一是把这个字符放到组合中去，接下来我们需要在剩下的n-1个字符中选取m-1个字符；而是不把这个字符放到组合中去，接下来我们需要在剩下的n-1个字符中选择m个字符。这两种选择都很容易用递归实现。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void combination(char *str);
void combination(char *str, int number, vector<char> &result);

int main()
{
char str[] = "abc";
combination(str);
return 0;
}

void combination(char *str)
{
int length = strlen(str);
vector<char> result;
for(int i=1; i<=length; i++)
combination(str, i, result);
}

void combination(char *str, int number, vector<char> &result)
{
if(number == 0)
{
for(vector<char>::iterator iter = result.begin(); iter != result.end(); ++iter)
printf("%c\t", *iter);
printf("\n");
return;// 注意这里的return不能丢
}
if(*str == '\0')
return;

result.push_back(*str);
combination(str+1, number-1, result);
result.pop_back();

combination(str+1, number, result);
}

参考

/article/4740770.html

/article/2148179.html

http://dongxicheng.org/structure/permutation-combination/