康托展开

内容：（转自百度百科）

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，a为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)。这就是康托展开。康托展开可用代码实现。

康托展开的应用实例

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

　　代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

　　他们间的对应关系可由康托展开来找到。

　　如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：

　　第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!+1*0!是康托展开。

　　再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

康托展开的逆运算

　　例1 {1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕

　　(1)找出第96个数

　　首先用96-1得到95

　　用95去除4! 得到3余23

　　用23去除3! 得到3余5

　　用5去除2!得到2余1

　　用1去除1!得到1余0有3个数比它小的数是4

　　所以第一位是4

　　有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以是5（因为4在之前出现过了所以实际比5小的数是3个）

　　有2个数比它小的数是3

　　有1个数比它小的数是2

　　最后一个数只能是1

　　所以这个数是45321

　　(2)找出第16个数

　　首先用16-1得到15

　　用15去除4!得到0余15

　　用15去除3!得到2余3

　　用3去除2!得到1余1

　　用1去除1!得到1余0

　　有0个数比它小的数是1

　　有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）

　　有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）

　　有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）

　　最后一个数只能是2

　　所以这个数是14352

康托展开代码（自编）：

#include<iostream>
using namespace std;
long jiecheng(int x)
{
long y=0;
for(int i=0;i<=x;i++)
if (i==1)y=1; else y*=i;
return y;
}
long cantor(int* s,int n)
{
long num=0;
for(int i=0;i<=n;i++)     //num=后面小于当前数的个数 *（n-1）！+……
{
int t=0;
for(int j=0;j<i;j++)   //统计小于当前 s[i]的个数
if(s[j]<s[i]) t++;   cout<<"t=  "<<t<<endl;
num=num+t*jiecheng(i);  cout<<"num= "<<num<<endl;
}
return num;
}
int main()
{
int s[1000];
long a;
while (scanf("%d",&a)!=EOF)
{
int n=-1;
while (a>0)
{
s[++n]=a%10;
a/=10;
}
long num=cantor(s,n);
printf("%ld\n",num+1);
}
return 0;
}

逆康托展开代码（自编）：

#include<iostream>
using namespace std;
int jiecheng(int x)
{
if(x==0) return 0;
int y=1;
for(int i=1;i<=x;i++) {y*=i;}
return y;
}
long long recantor(int n,int m)
{
int a[1000];
int s[1000];
int q[1000];
memset(q,0,sizeof(q));
long long num=0;
for(int i=m-1;i>0;i--)
{
int temp=jiecheng(i);
a[i]=n/temp;
n%=temp;
s[i]=a[i]+1;
for(int j=m-1;j>i;j--)
{
if(s[j]<=s[i]) s[i]++;
}
q[s[i]]=1;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
if(q[i]==0)  s[0]=i;
int t=m-1;
while (t>=0)
{
num=num*10+s[t];
t--;
}
return num;
}
int main()
{
int n;    //该排列是第 n大的排列
int m;   //该排列由 1~m组成
int num;
while (scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
{
n--;
num=recantor(n,m);
printf("%d\n",num);
}
return 0;
}