Project Euler - Problem 5

2520 is the smallest number that can be divided by each of the numbers from 1 to 10 without any remainder. What is the smallest positive number that is evenly divisible by all of the numbers from 1 to 20?

计算最小的能被1-20所有数整除的数，换个说法就是求｛2-20｝的最小公倍数。

根据题目给出的内容，2520是｛2-10｝的最小公倍数，那么｛2-20｝的最小公倍数应当可以表示为2520X。

其次，可以由因数分解算法得出，2520=(2^3)*(3^2)*5*7。整除2520的数同时整除了2*2*3=12, 2*2*5=20, 2*7=14, 3*5=15, 3*3*2=18.

所以,在求取｛2-20｝的最小公倍数2520X，可以不再考虑{1-10, 12, 14, 15, 18, 20}的倍数，仅仅测试{11, 13, 16, 17, 19}

def isOK(n):
for i in [11, 13, 16, 17, 19]:
if n % i: return False
return True

def smallestDivisibleNumber():
i = 2520
while not isOK(i):
i += 2520
return i

这个解法需要先用另一个算法求出将2520分解，不好不好。

设N为2到K最小公倍数，根据“任何数可以分解为有限个素数的乘积”，N的因子应当覆盖所有2-K范围内的素数，N为这些数的乘积。

例如:

K=2, N=2

K=3, N=2*3=6 # 2,3的最小公倍数是6

K=4, N=2*3*2=12 # 2,3,4的最小公倍数是12, 4=2*2.

K=5, N=2*3*2*5=60 # 2,3,4,5的最小公倍数是60

k=6, N=2*3*2*5=60 # 2,3,4,5,6的最小公倍数是60, 6=2*3

……

k=20, N=2*3*2*5*7*2*3*11*13*2*17*19

用手就算出来了~~~

总结规律：

1、N必须被小于N的所有素数整除。

2、N必须被小于N的所有合数整除。

3、这些合数可以以小于N的素数的指数形式表示。

如上：

K=4, N=(2^2)*3

K=5, N=(2^2)*3*5

……

K=60, N=(2^4)*(3^2)*5*7*11*13*17*19

4、计算这些素数的指数部分时，对于20来说：

(1)、2^4=15, 2^5=25

(2)、3^2=9, 3^3=27

(3)、5^2=25, 7^2=25 ……

将素数表示为p, 其指数部分为a，则p^a <= K。可由公式log(p^a)=a*log(p) = K, a = log(k) / log(p)， 对a进行地板取整便是合适的值。而对于那些大于sqrt(K)的素数，它们的指数部分必定为1，因为(sqrt(p)^2)>K了。这样求出的公倍数就不只是2-K的了，还包含了超出K的部分。

def SmallestDivisibleNum():
k = 20
n = i = 1
flag = True
limit = math.sqrt(k)
for p in [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19]:
a = 1
if flag:
if pi <= limit:
a = math.floor(math.log(k)/math.log(p))
else:
flag = False
n *= p**a
return n