算法系列15天速成——第十一天 树操作（上）

最近项目赶的紧，歇了一个星期没写博客了，趁周末继续写这个系列。


先前我们讲的都是“线性结构”，他的特征就是“一个节点最多有一个”前驱“和一个”后继“。那么我们今天讲的树会是怎样的呢？

我们可以对”线性结构“改造一下，变为”一个节点最多有一个"前驱“和”多个后继“。哈哈，这就是我们今天说的”树“。



一： 树

我们思维中的”树“就是一种枝繁叶茂的形象，那么数据结构中的”树“该是怎么样呢？对的，他是一种现实中倒立的树。



1：术语

其实树中有很多术语的，这个是我们学习树形结构必须掌握的。

<1>父节点，子节点，兄弟节点

这个就比较简单了，B和C的父节点就是A，反过来说就是B和C是A的子节点。B和C就是兄弟节点。

<2>结点的度

其实”度“就是”分支数“，比如A的分支数有两个“B和C",那么A的度为2。

<3> 树的度

看似比较莫名其妙吧，他和”结点的度“的区别就是，树的度讲究大局观，乃树中最大的结点度，其实也就是2。

<4> 叶结点，分支结点

叶结点就是既没有左孩子也没有右孩子结点，也就是结点度为0。分支节点也就是if的else的条件咯。

<5> 结点的层数

这个很简单，也就是树有几层。

<6> 有序树，无序树

有序树我们先前也用过，比如“堆”和“二叉排序树”，说明这种树是按照一定的规则进行排序的，else条件就是无序树。

<7>森林

现实中，很多的树形成了森林，那在数据结构中，我们把上图的“A”节点砍掉，那么B，C子树合一起就是森林咯。



2: 树的表示

树这个结构的表示其实有很多种，常用的也就是“括号”表示法。

比如上面的树就可以表示为：(A(B(D),(E)),(C(F),(G)))



二： 二叉树

在我们项目开发中，很多地方都会用到树，但是多叉树的处理还是比较纠结的，所以俺们本着“大事化小，小事化了“的原则

把”多叉树“转化为”二叉树“，那么问题就简化了很多。



1： ”二叉树“和”树“有什么差异呢？

第一点:树的度没有限制，而“二叉树”最多只能有两个，不然也就不叫二叉树了，哈哈。

第二点：树中的子树没有左右划分，很简单啊，找不到参照点，二叉树就有参照物咯。



2： 二叉树的类型

二叉树中有两种比较完美的类型，“完全二叉树”和“满二叉树”。

<1>满二叉树

除叶子节点外，所有节点的度都为2，文章开头处的树就是这里的“满二叉树”。

<2>完全二叉树

必须要满足两个条件就即可：干掉最后一层，二叉树变为“满二叉树”。

最后一层的叶节点必须是“从左到右”依次排开。

我们干掉文章开头处的节点“F和”G",此时还是“完全二叉树”，但已经不是“满二叉树”了，你懂的。



3： 二叉树的性质

二叉树中有5点性质非常重要，也是俺们必须要记住的。

<1>二叉树中，第i层的节点最多有2(i-1)个。

<2>深度为k的二叉树最多有2k-1个节点。

<3>二叉树中，叶子节点树为N1个，度为2的节点有N2个，那么N1=N2+1。

<4>具有N个结点的二叉树深度为（Log2 N）+1层。

<5>N个结点的完全二叉树如何用顺序存储，对于其中的一个结点i，存在以下关系，

2*i是结点i的父结点。

i/2是结点i的左孩子。

(i/2)+1是结点i的右孩子。



4： 二叉树的顺序存储

同样的存储方式也有两种，“顺序存储”和“链式存储”。

<1> 顺序存储

说实话，树的存储用顺序结构比较少，因为从性质定理中我们都可以看出只限定为“完全二叉树”，那么如果二叉树不是

“完全二叉树”，那我们就麻烦了，必须将其转化为“完全二叉树”，将空的节点可以用“#”代替，图中也可看出，为了维护

性质定理5的要求，我们牺牲了两个”资源“的空间。



<2> 链式存储

上面也说了，顺序存储会造成资源的浪费，所以嘛，我们开发中用的比较多的还是“链式存储”，同样“链式存储”

也非常的形象，非常的合理。

一个结点存放着一个“左指针”和一个“右指针”，这就是二叉链表。

如何方便的查找到该结点的父结点，可以采用三叉链表。



5: 常用操作

一般也就是“添加结点“，“查找节点”，“计算深度”，“遍历结点”，“清空结点”



<1> 这里我们就用二叉链表来定义链式存储模型

#region 二叉链表存储结构
 /// <summary>
 /// 二叉链表存储结构
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 public class ChainTree<T>
 {
 public T data;
 
 public ChainTree<T> left;
 
 public ChainTree<T> right; 
 }
 #endregion

<2> 添加结点

要添加结点，我们就要找到添加结点的父结点，并且根据指示插入到父结点中指定左结点或者右结点。

#region 将指定节点插入到二叉树中
 /// <summary>
 /// 将指定节点插入到二叉树中
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 /// <param name="node"></param>
 /// <param name="direction">插入做左是右</param>
 /// <returns></returns>
 public ChainTree<T> BinTreeAddNode<T>(ChainTree<T> tree, ChainTree<T> node, T data, Direction direction)
 {
 if (tree == null)
 return null;
 
 if (tree.data.Equals(data))
 {
 switch (direction)
 {
 case Direction.Left:
 if (tree.left != null)
 throw new Exception("树的左节点不为空，不能插入");
 else
 tree.left = node;
 
 break;
 case Direction.Right:
 if (tree.right != null)
 throw new Exception("树的右节点不为空，不能插入");
 else
 tree.right = node;
 
 break;
 }
 }
 
 BinTreeAddNode(tree.left, node, data, direction);
 BinTreeAddNode(tree.right, node, data, direction);
 
 return tree;
 }
 #endregion

<3>查找节点

二叉树中到处都散发着递归思想，很能锻炼一下我们对递归的认识，同样查找也是用到了递归思想。

#region 在二叉树中查找指定的key
 /// <summary>
 ///在二叉树中查找指定的key
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 /// <param name="data"></param>
 /// <returns></returns>
 public ChainTree<T> BinTreeFind<T>(ChainTree<T> tree, T data)
 {
 if (tree == null)
 return null;
 
 if (tree.data.Equals(data))
 return tree;
 
 return BinTreeFind(tree, data);
 }
 #endregion

<4> 计算深度

这个问题纠结了我二个多小时，原因在于没有深刻的体会到递归，其实主要思想就是递归左子树和右子树，然后得出较大的一个。

#region 获取二叉树的深度
 /// <summary>
 /// 获取二叉树的深度
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 /// <returns></returns>
 public int BinTreeLen<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 int leftLength;
 int rightLength;
 
 if (tree == null)
 return 0;
 
 //递归左子树的深度
 leftLength = BinTreeLen(tree.left);
 
 //递归右子书的深度
 rightLength = BinTreeLen(tree.right);
 
 if (leftLength > rightLength)
 return leftLength + 1;
 else
 return rightLength + 1;
 }
 #endregion

<5>遍历结点

二叉树中遍历节点的方法还是比较多的，有“先序”，“中序”，“后序”，“按层”，其实这些东西只可意会，不可言传，真的很难在口头

上说清楚，需要反复的体会递归思想。

先序：先访问根，然后递归访问左子树，最后递归右子树。（DLR模式）

中序：先递归访问左子树，在访问根，最后递归右子树。（LDR模式）

后序：先递归访问左子树，然后递归访问右子树，最后访问根。（LRD模式）

按层：这个比较简单，从上到下，从左到右的遍历节点。

#region 二叉树的先序遍历
 /// <summary>
 /// 二叉树的先序遍历
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 public void BinTree_DLR<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 if (tree == null)
 return;
 
 //先输出根元素
 Console.Write(tree.data + "\t");
 
 //然后遍历左子树
 BinTree_DLR(tree.left);
 
 //最后遍历右子树
 BinTree_DLR(tree.right);
 }
 #endregion
 
 #region 二叉树的中序遍历
 /// <summary>
 /// 二叉树的中序遍历
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 public void BinTree_LDR<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 if (tree == null)
 return;
 
 //优先遍历左子树
 BinTree_LDR(tree.left);
 
 //然后输出节点
 Console.Write(tree.data + "\t");
 
 //最后遍历右子树
 BinTree_LDR(tree.right);
 }
 #endregion
 
 #region 二叉树的后序遍历
 /// <summary>
 /// 二叉树的后序遍历
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 public void BinTree_LRD<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 if (tree == null)
 return;
 
 //优先遍历左子树
 BinTree_LRD(tree.left);
 
 //然后遍历右子树
 BinTree_LRD(tree.right);
 
 //最后输出节点元素
 Console.Write(tree.data + "\t");
 }
 #endregion
 
 #region 二叉树的按层遍历
 /// <summary>
 /// 二叉树的按层遍历
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 public void BinTree_Level<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 if (tree == null)
 return;
 
 //申请保存空间
 ChainTree<T>[] treeList = new ChainTree<T>[Length];
 
 int head = 0;
 int tail = 0;
 
 //存放数组
 treeList[tail] = tree;
 
 //循环链中计算tail位置
 tail = (tail + 1) % Length;
 
 while (head != tail)
 {
 var tempNode = treeList[head];
 
 head = (head + 1) % Length;
 
 //输出节点
 Console.Write(tempNode.data + "\t");
 
 //如果左子树不为空,则将左子树存于数组的tail位置
 if (tempNode.left != null)
 {
 treeList[tail] = tempNode.left;
 
 tail = (tail + 1) % Length;
 }
 
 //如果右子树不为空，则将右子树存于数组的tail位置
 if (tempNode.right != null)
 {
 treeList[tail] = tempNode.right;
 
 tail = (tail + 1) % Length;
 }
 }
 }
 #endregion

<6> 清空二叉树

虽然C#里面有GC，但是我们能自己释放的就不麻烦GC了，同样清空二叉树节点，我们用到了递归，说实话，这次练习让我喜欢

上的递归，虽然XXX的情况下，递归的不是很好，但是递归还是很强大的。

#region 清空二叉树
 /// <summary>
 /// 清空二叉树
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 public void BinTreeClear<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 //递的结束点，归的起始点
 if (tree == null)
 return;
 
 BinTreeClear(tree.left);
 BinTreeClear(tree.right);
 
 //在归的过程中，释放当前节点的数据空间
 tree = null;
 }
 #endregion

最后上一下总的代码

View Code 
 using System;
 using System.Collections.Generic;
 using System.Linq;
 using System.Text;
 
 namespace ChainTree
 {
 public class Program
 {
 static void Main(string[] args)
 {
 ChainTreeManager manager = new ChainTreeManager();
 
 //插入节点操作
 ChainTree<string> tree = CreateRoot();
 
 //插入节点数据
 AddNode(tree);
 
 //先序遍历
 Console.WriteLine("\n先序结果为： \n");
 manager.BinTree_DLR(tree);
 
 //中序遍历
 Console.WriteLine("\n中序结果为： \n");
 manager.BinTree_LDR(tree);
 
 //后序遍历
 Console.WriteLine("\n后序结果为： \n");
 manager.BinTree_LRD(tree);
 
 //层次遍历
 Console.WriteLine("\n层次结果为： \n");
 manager.Length = 100;
 manager.BinTree_Level(tree);
 
 Console.WriteLine("\n树的深度为：" + manager.BinTreeLen(tree) + "\n");
 
 Console.ReadLine();
 
 }
 
 #region 生成根节点
 /// <summary>
 /// 生成根节点
 /// </summary>
 /// <returns></returns>
 static ChainTree<string> CreateRoot()
 {
 ChainTree<string> tree = new ChainTree<string>();
 
 Console.WriteLine("请输入根节点，方便我们生成树\n");
 
 tree.data = Console.ReadLine();
 
 Console.WriteLine("根节点生成已经生成\n");
 
 return tree;
 }
 #endregion
 
 #region 插入节点操作
 /// <summary>
 /// 插入节点操作
 /// </summary>
 /// <param name="tree"></param>
 static ChainTree<string> AddNode(ChainTree<string> tree)
 {
 ChainTreeManager mananger = new ChainTreeManager();
 
 while (true)
 {
 ChainTree<string> node = new ChainTree<string>();
 
 Console.WriteLine("请输入要插入节点的数据：\n");
 
 node.data = Console.ReadLine();
 
 Console.WriteLine("请输入要查找的父节点数据：\n");
 
 var parentData = Console.ReadLine();
 
 if (tree == null)
 {
 Console.WriteLine("未找到您输入的父节点，请重新输入。");
 continue;
 }
 
 Console.WriteLine("请确定要插入到父节点的：1 左侧，2 右侧");
 
 Direction direction = (Direction)Enum.Parse(typeof(Direction), Console.ReadLine());
 
 tree = mananger.BinTreeAddNode(tree, node, parentData, direction);
 
 Console.WriteLine("插入成功，是否继续？1 继续， 2 退出");
 
 if (int.Parse(Console.ReadLine()) == 1)
 continue;
 else
 break;
 }
 
 return tree;
 }
 #endregion
 }
 
 #region 插入左节点或者右节点
 /// <summary>
 /// 插入左节点或者右节点
 /// </summary>
 public enum Direction { Left = 1, Right = 2 }
 #endregion
 
 #region 二叉链表存储结构
 /// <summary>
 /// 二叉链表存储结构
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 public class ChainTree<T>
 {
 public T data;
 
 public ChainTree<T> left;
 
 public ChainTree<T> right;
 }
 #endregion
 
 /// <summary>
 /// 二叉树的操作帮助类
 /// </summary>
 public class ChainTreeManager
 {
 #region 按层遍历的Length空间存储
 /// <summary>
 /// 按层遍历的Length空间存储
 /// </summary>
 public int Length { get; set; }
 #endregion
 
 #region 将指定节点插入到二叉树中
 /// <summary>
 /// 将指定节点插入到二叉树中
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 /// <param name="node"></param>
 /// <param name="direction">插入做左是右</param>
 /// <returns></returns>
 public ChainTree<T> BinTreeAddNode<T>(ChainTree<T> tree, ChainTree<T> node, T data, Direction direction)
 {
 if (tree == null)
 return null;
 
 if (tree.data.Equals(data))
 {
 switch (direction)
 {
 case Direction.Left:
 if (tree.left != null)
 throw new Exception("树的左节点不为空，不能插入");
 else
 tree.left = node;
 
 break;
 case Direction.Right:
 if (tree.right != null)
 throw new Exception("树的右节点不为空，不能插入");
 else
 tree.right = node;
 
 break;
 }
 }
 
 BinTreeAddNode(tree.left, node, data, direction);
 BinTreeAddNode(tree.right, node, data, direction);
 
 return tree;
 }
 #endregion
 
 #region 获取二叉树指定孩子的状态
 /// <summary>
 /// 获取二叉树指定孩子的状态
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 /// <param name="direction"></param>
 /// <returns></returns>
 public ChainTree<T> BinTreeChild<T>(ChainTree<T> tree, Direction direction)
 {
 ChainTree<T> childNode = null;
 
 if (tree == null)
 throw new Exception("二叉树为空");
 
 switch (direction)
 {
 case Direction.Left:
 childNode = tree.left;
 break;
 case Direction.Right:
 childNode = tree.right;
 break;
 }
 
 return childNode;
 }
 
 #endregion
 
 #region 获取二叉树的深度
 /// <summary>
 /// 获取二叉树的深度
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 /// <returns></returns>
 public int BinTreeLen<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 int leftLength;
 int rightLength;
 
 if (tree == null)
 return 0;
 
 //递归左子树的深度
 leftLength = BinTreeLen(tree.left);
 
 //递归右子书的深度
 rightLength = BinTreeLen(tree.right);
 
 if (leftLength > rightLength)
 return leftLength + 1;
 else
 return rightLength + 1;
 }
 #endregion
 
 #region 判断二叉树是否为空
 /// <summary>
 /// 判断二叉树是否为空
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 /// <returns></returns>
 public bool BinTreeisEmpty<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 return tree == null ? true : false;
 }
 #endregion
 
 #region 在二叉树中查找指定的key
 /// <summary>
 ///在二叉树中查找指定的key
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 /// <param name="data"></param>
 /// <returns></returns>
 public ChainTree<T> BinTreeFind<T>(ChainTree<T> tree, T data)
 {
 if (tree == null)
 return null;
 
 if (tree.data.Equals(data))
 return tree;
 
 return BinTreeFind(tree, data);
 }
 #endregion
 
 #region 清空二叉树
 /// <summary>
 /// 清空二叉树
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 public void BinTreeClear<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 //递的结束点，归的起始点
 if (tree == null)
 return;
 
 BinTreeClear(tree.left);
 BinTreeClear(tree.right);
 
 //在归的过程中，释放当前节点的数据空间
 tree = null;
 }
 #endregion
 
 #region 二叉树的先序遍历
 /// <summary>
 /// 二叉树的先序遍历
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 public void BinTree_DLR<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 if (tree == null)
 return;
 
 //先输出根元素
 Console.Write(tree.data + "\t");
 
 //然后遍历左子树
 BinTree_DLR(tree.left);
 
 //最后遍历右子树
 BinTree_DLR(tree.right);
 }
 #endregion
 
 #region 二叉树的中序遍历
 /// <summary>
 /// 二叉树的中序遍历
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 public void BinTree_LDR<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 if (tree == null)
 return;
 
 //优先遍历左子树
 BinTree_LDR(tree.left);
 
 //然后输出节点
 Console.Write(tree.data + "\t");
 
 //最后遍历右子树
 BinTree_LDR(tree.right);
 }
 #endregion
 
 #region 二叉树的后序遍历
 /// <summary>
 /// 二叉树的后序遍历
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 public void BinTree_LRD<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 if (tree == null)
 return;
 
 //优先遍历左子树
 BinTree_LRD(tree.left);
 
 //然后遍历右子树
 BinTree_LRD(tree.right);
 
 //最后输出节点元素
 Console.Write(tree.data + "\t");
 }
 #endregion
 
 #region 二叉树的按层遍历
 /// <summary>
 /// 二叉树的按层遍历
 /// </summary>
 /// <typeparam name="T"></typeparam>
 /// <param name="tree"></param>
 public void BinTree_Level<T>(ChainTree<T> tree)
 {
 if (tree == null)
 return;
 
 //申请保存空间
 ChainTree<T>[] treeList = new ChainTree<T>[Length];
 
 int head = 0;
 int tail = 0;
 
 //存放数组
 treeList[tail] = tree;
 
 //循环链中计算tail位置
 tail = (tail + 1) % Length;
 
 while (head != tail)
 {
 var tempNode = treeList[head];
 
 head = (head + 1) % Length;
 
 //输出节点
 Console.Write(tempNode.data + "\t");
 
 //如果左子树不为空,则将左子树存于数组的tail位置
 if (tempNode.left != null)
 {
 treeList[tail] = tempNode.left;
 
 tail = (tail + 1) % Length;
 }
 
 //如果右子树不为空，则将右子树存于数组的tail位置
 if (tempNode.right != null)
 {
 treeList[tail] = tempNode.right;
 
 tail = (tail + 1) % Length;
 }
 }
 }
 #endregion
 
 }
 }

我们把文章开头的“二叉树”的节点输入到我们的结构中，看看遍历效果咋样。