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关于素数的一些题目

2012-04-29 21:39 260 查看
看了czyuan的总结,决定先找几道素数的题目玩玩...

首先,判定素数的方法除了暴力枚举到根号n外还有筛法,不要小看,他可以演变出一些题目

for (i=2;i<=maxn;i++)

{

if (!is[i])

{

prime[pl++]=i;

if (1LL*i*i>1LL*maxn) continue;

for(j=i*i;j<=maxn;j+=i)is[j]=1;

}

}

短短几行,可以在0.9s左右筛出一千万内的素数,应该够用了
http://acm.scs.bupt.cn/onlinejudge/showproblem.php?problem_id=1514这个题 是筛素数的好题,当然要先知道威尔逊定理.不知道的话搜一下吧.

这个方法的原理是每一个合数必然有一个最小的素因子.

同理 根据筛法我们可以求出区间内的欧拉函数

[即欧拉函数φ(n)表示≤n且与n互素的正整数的数目(其实等于仅对1而言,φ(1)=1,1被认为与任何数互素)。

根据公式φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1、p2…pk为n的所有素因子。

比如:φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4。

利用这个就比较好求了,可以用类似求素数的筛法。

先筛出N以内的所有素数,再以素数筛每个数的φ值。

比如求10以内所有数的φ值:

设一数组phi[11],赋初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10;

然后从2开始循环,把2的倍数的φ值*(1-1/2),则phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,phi[6]=6*1/2=3....;

再是3,3的倍数的φ值*(1-1/3),则phi[3]=3*2/3=2,phi[6]=3*2/3=2,phi[9]=.....;

再5,再7...因为对每个素数都进行如此操作,因此任何一个n都得到了φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)的运算

for (i=2;i<maxn;i++)

{

if (!is[i])

{

prime[pl++]=i;

if (1LL*i*i>1LL*maxn) continue;

for(j=i*i;j<maxn;j+=i)is[j]=1;

}

}

phi[1]=0;

for (i=2;i<=maxn;i++)phi[i]=i;

for (i=2;i<=maxn;i++)

{

if (!is[i])

{

for (j=i;j<=maxn;j+=i)

{

phi[j]=(phi[j]/i)*(i-1);

}

}

}

例题 http://acm.tju.edu.cn/toj/showp3300.html
还可以求出约数个数 根据乘法原理 x=sigma pi^ai

所以(ai+1)的乘积就是约数个数

for (i=2;i<maxn;i++)

{

if (!is[i])

{

prime[pl++]=i;

if (1LL*i*i>1LL*maxn) continue;

for(j=i*i;j<maxn;j+=i)is[j]=1;

}

}

for (i=1;i<=maxn;i++)fac[i]=1;

for (i=2;i<=maxn;i++)

{

if (!is[i])

{

fac[i]=2;

for (j=2*i;j<=maxn;j+=i)

{

int tmp=j,s=0;

while (tmp%i==0)

{

s++;tmp/=i;

}

fac[j]*=(s+1);

}

}

}
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3286
还有很多和分解质因数相关的都可以用筛法的变形优化,需要变通,就不一一列举了.
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