【算法设计】堆排序

一、概述

有两种堆，分别为最大堆与最小堆。顾名思义，最大堆的堆顶为最大的元素，最小堆为最小的元素。即

最大堆：

ki>=k2i&& ki>=k2i+1

二、算法实现

1.基本算法

以下以最大堆为例，算法如下：

⑴假设输出堆顶元素后，将新元素e置于堆顶

⑵取其左右儿子中最大者s与新元素比较

⑶由于左右两棵子树本就是最大堆，

若e>=s，则重新成为最大堆；

否则，将s与e调换位置。此时，将会破坏最大儿子所在的堆

⑷继续调整

代码实现如下：

void HeapAdjust2(int data[],int index,int length){
for(int i=index;2*i+1<length;){
int k=2*i+1;
if(k<length-1&&(data[k]<data[k+1])) k++; //选择大的孩子，注意并非都有右孩子
if(data[i]<data[k]){					 //将需要调整的元素e与最大儿子进行交换
int temp=data[i];
data[i]=data[k];
data[k]=temp;
i=k;								 //元素e调整到了新位置
}
else break;
}

}

2.简单改进

在以上实现中，需要调整的元素多次进行了交换才到了最终确定的位置，在这其中多次交换了又多次被覆盖，是为重复无用的操作。因此做出以下改进无需进行交换：

void HeapAdjust(int data[],int index,int length){
int rs=data[index];
for(int i=index;2*i+1<length;i++){
//最大堆
int k=2*i+1; //左孩子下标
if(k<length-1&&(data[k]<data[k+1])) k++;  //选择大的孩子，注意并非都有右孩子
if(data[index]>=data[k])break;
data[index]=data[k];
index=k;
}
data[index]=rs;
}

注意：
1. 堆排序仅占用一个记录大小的辅助空间，每个待排序记录占一个存储空间，空间复杂度为O（1），时间复杂度为O（nlogn）

2. 注意并非完全二叉树，非终端结点可能只具有左儿子。

3. 从无序序列进行建堆时，只需从最后一个非终端结点开始即可，即从floor(length/2)开始

3.应用

首先是应用在堆排序中，如下：

void HeapSort(int data[],int length){
for(int i=length/2-1;i>=0;i--)  //从最后一个非终端结点开始建堆
HeapAdjust(data,i,length);
for(i=length-1;i>0;i--){        //将当前堆顶（最大元素）和未排序的最后一个元素交换后再调整。即得到升序序列
int temp=data[i];
data[i]=data[0];
data[0]=temp;
HeapAdjust(data,0,i-1);
}

}

其次，对于大量数据里求最大或最小的N个数问题，用堆也是个绝佳的选择。

以在海量数据里求最小的n个数为例，可使用最大堆。这是因为：在n个数据的堆里，堆顶为其中最大的元素。对新的一个元素，将其与堆顶元素相比，若大于堆顶，则该数必定不在最小的n个数里；若小于堆顶，则将堆顶抛弃，加入新元素再重新调整成新的堆，从而就保证有n个数的堆，且堆顶是n个数里最大的元素。