Kobon问题新进展:17条直线可构成多少个互不重叠的三角形
2012-04-23 18:21
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很多时候,问题越是简单,解答起来越复杂。1983年,Kobon Fujimura提出了这样一个问题:N条直线最多可以构成多少个互不重叠的三角形?这个问题后来被称为Kobon三角形问题。虽然对于一些特殊的n,人们已经找到了确切的最优解,但目前Kobon三角形问题还没有一般的结论。就在上个月,Johannes Bader用17条直线构造出85个互不重叠的三角形,它被证明是n=17的最优解。这里,我们将给出Johannes Bader构造出来的图形,并且证明它确实是n=17时的最优解。
如果n条直线中任两条不平行,任三条不共点,则每条直线都被其它n-1条直线切割为n份,产生了n-2个小线段,因此n条直线最多可以构成n(n-2)个小线段。我们将证明,n(n-2)/3是Kobon三角形问题的一个上界。有人会说,这不是显然的吗,如果这n(n-2)个小线段被“充分利用”的话,每条小线段都是一个三角形的边,n(n-2)/3显然已经是最大的了。且慢,万一两个三角形有公共边咋办?这样是不是可以“节约”一条边出来?有人甚至会想到,这样做节约的可不止一条边,如果两个三角形有公共边的话,必然会出现三线共点的情况,这将导致这两个三角形对面又产生另一对共边的三角形(图1)。但事实上,允许公共边的出现不但没有节约任何边,反而浪费了更多的线段。别忘了,三线共点这一情况的出现将减少总线段数,此时总线段数不再是n(n-2),你将白白损失三条本该有所作为的线段(图2)。省了两条,丢了三条,可见同样是想构造n(n-2)/3个三角形,只要有共用边出现,n(n-2)条小线段是不够的。证明的基本思路就是这样,有兴趣的话大家可以自己整理出详细的证明过程。
注意这个证明并没有说存在公共边的构造肯定不是最优解。有可能对于某些n,某个包含公共边的解是最优解,只是它没达到这里给出的上界而已。另外大家可能会问到的问题是,是否存在“部分公共边”的情况。这种“大边包含小边”式的共边三角形显然是愚蠢的,因为此时其中一个三角形必然被划分为了更小的三角形,选择小的那个三角形显然更好。
当n=17时,上界n(n-2)/3是可以达到的。Johannes Bader构造出了下面这个图形,图形中包含了85个互不重叠的三角形,完美解决了n=17时的Kobon三角形问题。
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