B - 反正切函数的应用解题报告(张宇)
2012-04-17 21:49
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B - 反正切函数的应用
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Description
反正切函数可展开成无穷级数,有如下公式
(其中0 <= x <= 1) 公式(1)
使用反正切函数计算PI是一种常用的方法。例如,最简单的计算PI的方法:
PI=4arctan(1)=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...) 公式(2)
然而,这种方法的效率很低,但我们可以根据角度和的正切函数公式:
tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] 公式(3)
通过简单的变换得到:
arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] 公式(4)
利用这个公式,令p=1/2,q=1/3,则(p+q)/(1-pq)=1,有
arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan[(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)]=arctan(1)
使用1/2和1/3的反正切来计算arctan(1),速度就快多了。
我们将公式(4)写成如下形式
arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c)
其中a,b和c均为正整数。
我们的问题是:对于每一个给定的a(1 <= a <= 60000),求b+c的值。我们保证对于任意的a都存在整数解。如果有多个解,要求你给出b+c最小的解。
Input
输入文件中只有一个正整数a,其中 1 <= a <= 60000。
Output
输出文件中只有一个整数,为 b+c 的值。
Sample Input
Sample Output
题意: 好吧,中文题哦~ 那就不要解释了吧......不难看出,要满足1/a = (1/b + 1/c)/ (1 - 1/(b*c)),即a=(bc-1)/(b+c).又因为b,c>a,所以令b=a+m,c=a+n,代入式子a=(bc-1)/(b+c),解得m*n=a^2+1.则只要满足a^2+1能取余n则有了m和n使得b+c=a*2+m+n值最小.
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反正切函数可展开成无穷级数,有如下公式
(其中0 <= x <= 1) 公式(1)
使用反正切函数计算PI是一种常用的方法。例如,最简单的计算PI的方法:
PI=4arctan(1)=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...) 公式(2)
然而,这种方法的效率很低,但我们可以根据角度和的正切函数公式:
tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] 公式(3)
通过简单的变换得到:
arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] 公式(4)
利用这个公式,令p=1/2,q=1/3,则(p+q)/(1-pq)=1,有
arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan[(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)]=arctan(1)
使用1/2和1/3的反正切来计算arctan(1),速度就快多了。
我们将公式(4)写成如下形式
arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c)
其中a,b和c均为正整数。
我们的问题是:对于每一个给定的a(1 <= a <= 60000),求b+c的值。我们保证对于任意的a都存在整数解。如果有多个解,要求你给出b+c最小的解。
Input
输入文件中只有一个正整数a,其中 1 <= a <= 60000。
Output
输出文件中只有一个整数,为 b+c 的值。
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5
题意: 好吧,中文题哦~ 那就不要解释了吧......不难看出,要满足1/a = (1/b + 1/c)/ (1 - 1/(b*c)),即a=(bc-1)/(b+c).又因为b,c>a,所以令b=a+m,c=a+n,代入式子a=(bc-1)/(b+c),解得m*n=a^2+1.则只要满足a^2+1能取余n则有了m和n使得b+c=a*2+m+n值最小.
#include<iostream> using namespace std; int main() { long long a; //用int的话是会WA的。。。。 while(cin>>a) { int n; for(n=a;;n--) //n*m的值已经确定为a*a+1,最大就为a.....(题目说明了必定有解) { if((a*a+1)%n==0) { cout<<a*2+n+(a*a+1)/n<<endl; break; } } } return 0; }
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