平均需要抛掷多少次硬币,才会首次出现连续两个正面?
2012-04-13 16:55
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平均需要抛掷多少次硬币,才会首次出现连续两个正面?它的答案是 6 次。它的计算方法大致如下。
首先,让我们来考虑这样一个问题: k 枚硬币摆成一排,其中每一枚硬币都可正可反;如果里面没有相邻的正面,则一共有多少种可能的情况?这可以用递推的思想来解决。不妨用 f(k) 来表示摆放 k 枚硬币的方案数。我们可以把这些方案分成两类:最后一枚硬币是反面,或者最后一枚硬币是正面。如果是前一种情形,则我们只需要看前 k - 1 枚硬币有多少摆法就可以了;如果是后一种情形,那么倒数第二枚硬币必须是反面,因而这种情形下的方案数就取决于前 k - 2 枚硬币的摆放方案数。因此我们得到, f(k) = f(k
- 1) + f(k - 2) 。由于摆放一枚硬币有两种方案,摆放两枚硬币有三种方案,因而事实上 f(k) 就等于 Fk+2 ,其中 Fi 表示 Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, …的第 i 项。
而“抛掷第 k 次才出现连续两个正面”的意思就是,最后三枚硬币是反、正、正,并且前面 k - 3 枚硬币中正面都不相邻。因此,在所有 2k 种可能的硬币正反序列中,只有 Fk-1 个是满足要求的。也就是说,我们有 F1 / 4 的概率在第二次抛币就得到了连续两个正面,有 F2 / 8 的概率在第三次得到连续两个正面,有 F3 / 16 的概率在第四次得到连续两个正面⋯⋯因此,我们要求的期望值就等于:
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202010/09/7df8d4ac70719537c2da79361b6ae28e.png)
这个无穷级数就等于 6:
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202010/09/18e6e8c050123422d85534fb81d8c927.png)
转自:http://www.matrix67.com/blog/archives/4534
首先,让我们来考虑这样一个问题: k 枚硬币摆成一排,其中每一枚硬币都可正可反;如果里面没有相邻的正面,则一共有多少种可能的情况?这可以用递推的思想来解决。不妨用 f(k) 来表示摆放 k 枚硬币的方案数。我们可以把这些方案分成两类:最后一枚硬币是反面,或者最后一枚硬币是正面。如果是前一种情形,则我们只需要看前 k - 1 枚硬币有多少摆法就可以了;如果是后一种情形,那么倒数第二枚硬币必须是反面,因而这种情形下的方案数就取决于前 k - 2 枚硬币的摆放方案数。因此我们得到, f(k) = f(k
- 1) + f(k - 2) 。由于摆放一枚硬币有两种方案,摆放两枚硬币有三种方案,因而事实上 f(k) 就等于 Fk+2 ,其中 Fi 表示 Fibonacci 数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, …的第 i 项。
而“抛掷第 k 次才出现连续两个正面”的意思就是,最后三枚硬币是反、正、正,并且前面 k - 3 枚硬币中正面都不相邻。因此,在所有 2k 种可能的硬币正反序列中,只有 Fk-1 个是满足要求的。也就是说,我们有 F1 / 4 的概率在第二次抛币就得到了连续两个正面,有 F2 / 8 的概率在第三次得到连续两个正面,有 F3 / 16 的概率在第四次得到连续两个正面⋯⋯因此,我们要求的期望值就等于:
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这个无穷级数就等于 6:
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