快速判断一个数能否被2、3、4、5、7、9、11整除

性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数：个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除）
能被3整除的数：各个数位上的数字和能被3整除
能被4整除的数：个位和十位所组成的两位数能被4整除。
能被5整除的数：个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）
如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除，（6=2*3）
末三位数字所组成的数与末三位前面的数字所组成数的差（大数减小数）能被7、
11、13整除
能被8整除的数：百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除。
能被9整除的数：各个数位上的数字和能被9整除
如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位为0）
能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和的差
（大数减小数）能被11整除
能被25整除的数：十位和个位所组成的两位数能被25整除。
能被125整除的数：百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。

另外有两类,
一类是看末位或末几位数字,如下文的(1)和(2);
另一类是先计算数字和或者乘以适当系数的数字和,再作判断,如下文的(3)～(6).

　　（1）一个自然数的奇偶性决定了它能否被2整除；偶数能被2整除，而奇数不能被2整除。

　　（2）一个自然数被5整除的判别准则是它的个位上的数字是0或5；

1个自然数被25整除的判别准则是它的最末两位是00、25、50、75。

　　（3）一个自然数被3整除判别准则是它的各位上的数字和能被3整除；一个自然数被9整除的判别准则是它的各位上的数字和能被9整除。

为什么会有这么简单的准则呢？因为如果a0、a1、a2、a3、…分别是自然数A的个位、十位、百位、千位……上的数字，那么

　　A=a0+10a+10^2 a2+10^3 a3……

　　=[（10-1）a1+（10^2-1）a2+(10^3-1)a3+……]+(a0+a1+a2+a3+……)。

容易验算，10^n-1（n是自然数）都是3和9的倍数，所以上式最后一行中括号中的数是3和9的倍数。由此得出结论，A是不是3或9的倍数，只要看A的数字和a0+a1+a2+a3+…是不是3或9的倍数。

　　（4）一个自然数被4整除的判别准则是它的个位数字与十位数字的2倍的和

能被4整除；一个自然数被8整除的判别准则是它的个位数字、十位数字的

2倍以及百位数字的4倍的和能被8整除。例如1390276的个位和十位分别是6和7，6+2×7=20，20能被4整除，所以1390276能被4整除。

这两个准则的证明与（3）中的准则的证明类似，这里只证明被8整除的准则，另一个准则的证明留给大家自己完成。采用（3）中的记号，A可以写成

　　A=[（10-2）a1+(10^2-4)a2+10^3a3+…]

　　+(a0+2a1+4a2)。

容易看出，中括号中的数是8的倍数。因此，要判断A是不是8的倍数，只要看a0+2a1+4a2是不是8的倍数。

　　（5）一个自然数被11整除的判别准则是它的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。例如，268829的奇数位数字和是9+8+6=23，偶数位数字和是2+8+2=12，两者的差是11，能被11整除，

证明仍然与（3）和（4）中的准则类似：用（3）中的记号，

A=[(10+1)a1+(10^2-1)a2+(10^3+1)a3+(10^4-1)a4+…]+[(a0+a2+…)-(a1+a3+…)]。

前一个中括号中的数是11的倍数。因此，要判断A是不是11的倍数，只要看后一个中括号中的数是不是11的倍数。

　　（6）判断一个自然数是否能被7整除是比较复杂的事，使用性也较小，但这里任做介绍，给大家参考，它的证明仍是仿照（3）～（5）的方法，请大家自己证明。

首先，要记住一个“系数序列”：1、3、2、-1、-3、-2、1、3、2、…，要判断一个自然数是否被7整除，要把这个数从个位开始的各位数字分别乘以上述序列中的对应系数后求代数和。如果代数和能被7整除，那么原数也不能被7整除。例如，5125764，因为4+6×3+7×2-5-2×3-2+5=28，所以5125764能被7整除。

　　在整除性判断时，还有一个非常有用的原则：如果一个自然数A可以同时被自然数d和b整除，并且d和b互质，那么，A能被db整除。例如，5125764同时被7和4整除，所以它能被4×7=28整除；个位数字为0的数能被10整除，因为它同时能被2和5整除。这里两个除数互质的条件是非常重要的，千万不能忽略。

（1）1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.

0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.

（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！

（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除