树状数组的理解

菜鸟一个，说的不好还望指点

　　去年学的树状数组，现在都忘没了，复习一下。

　　给你一组数据，例如a[1],a[2],a[3],...a[k],..a
,求任意一段区间和（比如说从a[i]---a[j]的所有数的和），线性求解，时间复杂度O(n),规模较大时，会TLE。怎么办？思路：以空间换时间。提前存储一些数据的和。怎么存储会节省时间？

　　方法一：构造一个和数组sum，每次输入第i个数据,就计算一下前i个数的和sum[i]。当求取前i个数和时，直接输出sum[i],O(1)时间复杂度，不很好吗。可是。。。如果我想更新一下第j个数据，那么就得连带着更新sum[j],sum[j+1],...sum
，时间复杂度又是O(n)，悲剧。。。

　　方法其他：还有其他方法，大家自己想吧，也可以查查。

　　现在隆重推出重量级方法：树状数组。让求和 和更新都是lg(n)。它的奥妙在哪呢？

　　设这个数组为tree
（没错，就一个数组）

奥妙一：tree中存着神马东西？

　　举个栗子：tree[12]

　　解：12------>1100(把12转换为二进制)

　　　　把1100变身------>1001 1010 1011 1100

　　　　tree[1100]=a[1001]+a[1010]+a[1011]+a[1100]

　　　　也就是tree[12]=a[9]+a[10]+a[11]+a[12]

　　也就是1100从右向左数第一个1，把1及1后边的0去掉（把100去掉），让a[1001]一直加到a[1100]

　　再举个复杂点儿的栗子：tree[40]

　　解：40------>101000

　　　　101000变身-------->100001 100010 ... 101000

　　　　tree[101000]=a[100001]+a[100010]+...+a[101000]

　　　　也就是tree[40]=a[31]+a[32]+...+a[40]

　　　　也就是101000从右向左数第一个1，把1及1后边的0去掉（把1000去掉），让a[100001]一直加到a[101000]

上两个图，就看清楚了



　　

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
a	1	0	2	1	1	3	0	4	2	5	2	2	3	1	0	2

灰色的是tree[i]大家可以把1~16转换为二进制验证一下

　　再上个图片



　　c是tree数组

　　明白了吗？

　　那则么求出从右向左数第一个1和它后边的0呢？

奥妙二：怎么求出从右向左数第一个1和它后边的0？

很简单。

知道补码肿么回事吗？正数的补码，不变；负数的补码取反加1，或者说，从右向左数一直不要变，直到第一个1，把1左边的数取反，这个大家都懂吧~

好的，继续。给你一个数x（一定是正数哦），求出他从右向左数第一个1和它后边的0？

1.求出它的补码，0-x

2.x与0-x相与

设出从右向左数第一个1和它后边的0这个数为low(x)

则low(x)=x&(-x)

奥妙三：求和

　　有了上边的基础，求和就好理解了

　　例如，求sum(13) 前13个数的和

　　13变身-------->1101 再变身　　　　　　　　　(先什么都不去掉)

　　　　　　　　　　　　　　--------->1101（去掉1，lowbit(1101)）

　　　　　　　　　　　　---------->1100（去掉100,lowbit(100)）

　　　　　　　　　　　　---------->1000

所以 sum[1101]=tree[1101]+tree[1100]+tree[1000]

也就是sum[13]=tree[13]+tree[12]+tree[8]

为什么这么算是对的？

好，复习一下奥妙二

tree[13]=a[13]

tree[12]=a[9]+a[10]+a[11]+a[12]

tree[8]=a[8]+a[7]+...+a[1]

很神奇吧~~~~~~

上个图：



[align=center] [/align]

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
a	1	0	2	1	1	3	0	4	2	5	2	2	3	1	0	2

求sum[13]
[align=center] [/align]
[align=center] [/align]
[align=center]写个求和函数[/align]

#define lowbit(x) ((x)&(-x))

int getsum(int i)
{
int sum=0;
while(i>0)
{
sum+=tree[i];
i-=lowbit(i);
}
return sum;
}

奥妙四：更新

　　更新一个数a[i],就得连带着更新存着a[i]的一些tree数组。怎么更新？想想~~~

　　没错！每次给i加lowbit(i)即可

　　举个栗子:)

　　更新a[5]，比如给a[5]加上个新值nval

　　0101(+lowbit(0101))------->0110(+lowbit(0110))------->1000(+lowbit(1000))-------->10000

　　tree[5]+=nval tree[6]+=nval tree[8]+=nval tree[16]+=nval

　　上个图



[align=center] [/align]

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
a	1	0	2	1	1	3	0	4	2	5	2	2	3	1	0	2

给a[5]加-1
[align=center] [/align]
[align=center]写个函数：[/align]

#define lowbit(x) ((x)&(-x))

void update(int i,int val)
{
while(i<=n)
{
tree[i]+=val;
i+=lowbit(i);
}
}

好了，写到这儿，望各位多多指点

部分图片来自http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=binaryIndexedTrees#find


部分图片不知道原创作者。。。

转载请说明出处，谢各位了
[align=center]http://www.cnblogs.com/inpeace7/archive/2012/04/10/2441352.html [/align]