企鹅2012笔试中的阿克曼函数（做错了，呜呜。。）

历史

1920年代后期，数学家大卫·希尔伯特的学生Gabriel Sudan和威廉·阿克曼，当时正研究计算的基础。Sudan发明了一个递归却非原始递归的Sudan函数。1928年，阿克曼又独立想出了另一个递归却非原始递归的函数。[1]

他最初的念头是一个三个变量的函数A(m,n,p)，使用康威链式箭号表示法是m→n→p。阿克曼证明了它是递归函数。希尔伯特在On the Infinite猜想这个函数不是原始递归。阿克曼在On Hilbert’s Construction of the Real Numbers证明了这点。

后来Rozsa Peter和Raphael Robinson定义了一个类似的函数，但只用两个变量。

定义

	若m=0
若m>0且n=0
若m>0且n>0

以下是阿克曼函数的伪代码：

function ack(m, n)
while m ≠ 0
if n = 0
n := 1
else
n := ack(m, n-1)
m := m - 1
return n+1

Haskell 语言能生成更精确的定义:

ack 0 n = n + 1
ack m 0 = ack (m - 1) 1
ack m n = ack (m - 1) (ack m (n - 1))

递归是有界的，因为在每次应用递归时，要么 m 递减，要么 m 保持不变而 n 递减。每次 n 达到零，m 递减，所以 m 最终可以达到零。（较技术性的表达：在每种情况下，有序对(m, n)按字典次序递减，它保持了非负整数的良序关系）。但是，在 m 递减的时候， n 的增加没有上界，而且增加的幅度还不少呢。

这个函数亦可用康威链式箭号表示法来作一个非递回性的定义：

对于m>2，A(m, n) = (2 → (n+3) → (m - 2)) - 3。
即是

对于n>2，2 → n → m = A(m+2,n-3) + 3。
使用hyper运算符就是

A(m, n) = hyper(2, m, n + 3) - 3。

函数值表

A(m, n) 的值

m\n	0	1	2	3	4	n
0	1	2	3	4	5
1	2	3	4	5	6
2	3	5	7	9	11
3	5	13	29	61	125
4	13	65533	265536 − 3	A(3, 265536 − 3)	A(3, A(4, 3))
5	65533	A(4, 65533)	A(4, A(5, 1))	A(4, A(5, 2))	A(4, A(5, 3))
6	A(5, 1)	A(5, A(5, 1))	A(5, A(6, 1))	A(5, A(6, 2))	A(5, A(6, 3))

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