卡特兰数 Catalan数 ( ACM 数论 组合 )

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卡特兰数 Catalan数 ( ACM 数论 组合 )

Posted on 2010-08-07 21:51 MiYu 阅读(2693) 评论(0) 编辑 收藏 引用 所属分类: ACM
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维基百科资料:

卡塔兰数

卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。
卡塔兰数的一般项公式为


另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
前几项为 （OEIS中的数列A000108）:
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

[编辑]性质

Cn的另一个表达形式为

所以，Cn是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。(见下文的第二个证明。)
卡塔兰数满足以下递推关系



它也满足



这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。
卡塔兰数的渐近增长为



它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）
所有的奇卡塔兰数Cn都满足n = 2k − 1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

[编辑]应用

组合数学中有非常多.的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative
Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用Cn=3和Cn=4举若干例：

Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。



Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）

证明：
令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有

个，下面考虑不满足要求的数目.

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。
从而

。证毕。

Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数： X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况：



Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n =
4的情况：



Cn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w)
= (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) =S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。

Cn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数.
那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明
that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner
semicircle law are zero. This law is important in free probability theory
and the theory of random matrices.

Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况: