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编程之美--------买票找零

2012-04-07 13:52 357 查看
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在一场激烈的足球比赛开始之前，售票工作正在紧张的进行中。每张球票为50元。现有2n个人在买票。

其中n个人手持50元的钞票，另外n个人手持100元的钞票。假设开始售票的时，售票处没有零钱。

问这2n个人有多少种排队方式，不使售票处出现找不到零钱的局面？

不难看出，从队首开始，任何时候，只要手持100元的球迷总比手持50元的球迷少，肯定可以把钱找开。

此时，我们联想到括号的问题。50元相当于左括号，100元相当于右括号

第0个一定是左括号，假设第0个和第k个括号匹配。那么k一定是奇数。那么第1个符号到第k-1符号一定匹配。

第k+1个，到第2n-1个符号一定匹配。

假设我们设定f（2n）代表所有的合法序列的总数。

那么f（2n）=Sum（f（2i）*f（2n-2i-2）） i=0，1，........n-1;

所以最终f（2n）=1/n+1 * C(2*n , n)

解法二：

为了便于描述：

我们假设持有50元的球迷用1表示，0表示持有100元的球迷。

那么在2n个球迷的队列就对应着n个1和n个0的排列。如果序列的任意前k个项中1的个数都不少于0的个数，我们称这样的序列是合法的

显然合法序列和可行的解决方案一一对应。同时称n-1个1和n+1个0组成的序列为Sigma序列。

这样的序列共有C（2*n，n-1）；

在一个非法序列中，存在某个k，使得序列前k个项中1的个数少于0的个数。即存k使得前k项中1的个数比0的个数刚好少1个，取其中

最小的k。将后2n-k项中的0换为1，1换为0.那么这是一个Sigma序列。所以，非法序列和sigma序列一一对应。

同理，sigma序列也可一映射到一个非法序列。所以非法序列和Sigma序列一一对应

非法序列的个数是C（2*n，n-1）

合法序列个数是C（2*n，n）-C（2*n，n-1）=1/(n+1) * C(2*n ,n)

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