某些数学应用的固定算法

某些数学应用的固定算法

       数学运算在狂做题之外，更需要冷静下来做做相关题型的总结，这样才能达到熟悉题型，事半功倍的效果。

        本贴中所列公式，大部分都是高中的东西，现在捡起来而已。

        仅供参考理解，不提倡盲目死记。

        其他算法总结今后仍会持续更新中～～～～～～～

        －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

        利润率＝利润/成本

        增长率＝增长额/第一年

        S1995~S2002 年均增长率：即年均增长幅度除以第一年 {(S2002－S1995)/7}/ S1995

        利率总额＝年数×年利率

        平均效率＝总量/总时间

        在抽水问题中：『动机效率（台数×虚拟单位效率1）－渗水率』×时间 是一个恒定量。
        牛吃草问题中：『吃草效率（头数×虚拟单位效率1）－草生长率』×时间 是一个恒定量。

        球体积＝(4∏R^3)/3    球表面积＝4πr^2

        锥体体积＝1/3 sh

        等差：An＝A1＋（n－1）d   Sn=n(A1+An)/2

       等比：An=A1•q的n-1次方   Sn=A1•(1-q的n次方)/1-q

        立方和公式： a^3＋b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

        立方差公式： a^3－b^3=(a－b)(a^2+ab+b^2)

        求24、60最小公倍数：   两数最小公倍数为2×2×3×2×5

        末数求值：2343×343 的最后两位 即：43×43＝49 

        1海里＝1.852千米

        用求包裹立方体的纸的大小，要求1.纸的面积大于立方体表面积 2.要求纸的长宽要大于立方体的展开的边幅。

        过多少天是星期几，关键看多少天能否被7整除，余几天。

        9^1992除以7的余数与 2^1992除以7的余数相等。

        遇到图形面积题，没必要死算，积极考虑补缺移填合成规则图形。

        六所学校派代表开会，选所有路程最短的学校，应重点考虑派代表最多的学校。

        甲除以13余9 甲＝13m＋9 （m为正整数
4000
）

        Ab与ba的差是s的4倍，则有4s＝a×10＋b－（b×10＋a） 『经常用于祖孙三代年龄问题』

        多位数相加时：abcd×dcba 应用观察法，首数乘乘ad，尾数乘乘da。

        3条纸带首尾相接，有2个1厘米的重合点，则比不重合相接牺牲了2厘米。

        子分财产问题。长子拿一份和剩下1/10。次子拿两份和剩下1/10……，结果所有儿子拿的一样多。

        则考虑最后两个儿子。最后的 n ＝ 倒数第二 n-1+n/9

        很多时候，8个以内的穷举法是最笨却最实际的办法。

        P除以10余9，除以9余8，除以8余7， 100<P 至1000以内的数       9×8×10＝720，则P＝359、719

        关于中国剩余定理的应用：一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1。求该数最小值。             则 （5，3，4）＝60。有[5 3][3 4] [5 4] ,使15或其倍数 除以4余1，则该数为45， 使12或其倍数 除以5余1，则该数为36。使20或其倍数 除以3余1，则该数为40。所以45×1＋36×3＋40×2－60×3＝53

        关于闰年的判定，闰年为366天，一般来说，用年份除以4，能整除就是闰年。但是，整百年份要除以400。比如1900年不是闰年，1600年是闰年。

        300张牌，总是拿掉奇数牌。最后剩下的是2的n次方<300，n的最大值。 总是拿掉偶数牌，最后剩下的是第一张牌。

        N个人彼此握手，则总握手数
        s＝（n－1）{a1＋a(n－1)}/2=（n－1）{1＋1+(n-2)}/2=『n^2－n』/2

        三个圆圈相交：S1＋S2+S3＝S（总数）＋2×j（三块共有）＋j1（两块共有）＋j2（两块共有）＋j3（两块共有）（记住公式必须与画图结合起来！此公式在学生参加兴趣爱好等问题上慎用！！因为两个兴趣组都参加的真正人数应该是题目中给你的参加两个兴趣班人数再减去三个兴趣班都参加的人数）

        英语数学语文三个小组，每人至少参加一组，总共35人，英17人，数30人，语13人，5人全参加，问只参加一组多少人？ 设x个学生加了一组. 

        x+2*(35-5-x)+3*5=17+30+13 x=15

        对于四人篮球，五次传球后回转本人的问题，应用组合逐个计算，分类讨论再相加。其中原始点是讨论的分歧点。   

        几个圆相交最多把平面分割成N^2－N+2

        n条线最多能画成多少个不重叠的三角形 F(n)＝F(n－1)＋ F(n－2) 如 f（11）＝19

        边长为N的立方体由边长为1的小立方体组成，一共有N^3个小立方体，露在外面的小立方体共有 N^3－（N－2）^3

        边长为ABC的长方体由边长为1的小立方体组成，一共有abc个小立方体，露在外面的小立方体共有 abc－（a－2）（b－2）（c－2）

        已知四个连续自然数的积。四个连续自然数为两个奇数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除。

        A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7,则A是5、6、7的倍数

        1000*999*998*……1 的结果后有多少个连续的零，则为1000/5＝200 1000/25=40

                1000/125=8   1000/625=1.235     则有249个零

        连续4个自然数（如1、2、3、4） 两奇两偶，记住：两个奇数和的一半是偶数 两个偶数和的一半是奇数。

        去程速度a 来程速度b，平均速度为v＝2ab/（a＋b）

        火车.自行车同向行进，速度分别为a、b，火车超过自行车时间为t，

        可知火车身长为s＝（a－b）t

        环形跑道周长500米，甲乙两人按顺时针沿环形跑道同时同地起跑，甲60米/分，乙50米/分，两人每跑200米均要停下来休息1分钟，那么甲首次追上乙需要多少分钟？

       有问题的解法： 解为乙跑的时间＋乙休息的时间＝甲跑的时间＋甲休息的时间，设乙跑x米，甲跑了x＋500米        列为： x/50+x/200=(x+500)/60+(x+500)/200

        其他解法：60x－50x＝500   x＝50

            50＋50*60/200+50*50/200=77

        关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/5，再加上100。

        l×l＋2×2＋…＋n×n＝n×（n＋1）×（2n＋1）÷6

        钟表几分重合，公式为： x/5=(x+a)/60 a时钟前面的格数。

        加速度公式 ： S＝V0T+(aT/2)T   V0：初速度   aT：末速度   T：经过的时间

        剩余价值与可变资本的比例关系称为剩余价值率

        利息=本金×利率×时间

        记住：现在银行利息计算采用单息制，而非利滚利的复息制，用“乘以”，而不用“乘方”

        溶液配比问题的“十字交叉法”

        某A溶液a克2％，某乙溶液b克4％，按如何比例可配成3％的溶液

        a2％＋b4％＝3％（a＋b） 

        算出a/b即可～

        有很多排列组合问题可以用排除法来做。

        如：五信装封，全错种类的问题。不建议用排列组合正面去算，很复杂。可以用（总装法5！）减去（全装对＋装错2＋装错3＋装错4）。 

        ps.想想为什么不能装错1封信呢？^_^

      1.2.2.3.3.3六个数字可组成多少个不重复的数字：先排1，有6种，再排2有5种，再排3有1种。即有6×5×1种

关于某些数学应用题目的固定算法(记住在应试中剩时间呦） 

1 四个连续自然数的积为1680，它们的和为（ ） 
A 、26 B、52 C、20 D、28 
解析：四个连续自然数，为两个积数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除，选项中只有26符合。 
2、 有300张多米诺骨牌，从1——300编号，每次抽取奇数牌，问最后剩下的一张牌是多少号？ 
答案是256号。 
解析：总结出的公式是：小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号。 
3、 一本300页的书中含“1”的有多少页？ 
答案是160页 
解析：关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/10乘以2，再加上100。 
4、 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余数是几？ 
A、4 B、5 C、6 D、7 
解析：设这个数除以12，余数是A，那么A除以3余数是2；A除以4，余数是1。而在1、2….11中，符合这样条件的A只有5。 
5、 中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点，时针与分针重合多少次？ 
答案：11次 
解析：关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：61T=S（S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格书，确定S后算出T的最大值就知道相遇多少次。） 
6、一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，问一共有多少小立方体被涂上了颜色？ 
答案：296 
解析：公式：（大正方形的边长的3次方）—（大正方形的边长—2）的3次方。 

Ab与ba的差是s的4倍，则有4s＝a×10＋b－（b×10＋a） 『经常用于祖孙三代年龄问题』 
多位数相加时：abcd×dcba 应用观察法，首数乘乘ab，尾数乘乘da。 
3条纸带首尾相接，有2个1厘米的重合点，则比不重合相接牺牲了2厘米。（可推而广之，如果是n条纸带呢？） 
n条线最多能画成多少个不重叠的三角形 F(n)＝F(n－1)＋ F(n－2) 如 f（11）＝19 
边长为N的立方体由边长为1的小立方体组成，一共有N^3个小立方体，露在外面的小立方体共有 N^3－（N－2）^3 
已知四个连续自然数的积。四个连续自然数为两个积数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除 
A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7,则A是5、6、7的倍数 
100*99*98*……1 的结果后有多少个连续的零，则为1000/5＝200 1000/25=40 
1000/125=8 1000/625=1.235 则有249个零 
去程速度a 来程速度b，平均速度为v＝2ab/（a＋b） 
关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/5，再加上100。 
l×l＋2×2＋…＋n×n＝n×（n＋1）×（2n＋1）÷6 
钟表重合公式，公式为： x/5=(x+a)/60 a为时钟前面的格数。 
追击休息问题，起始的路程差/(速度差)＝追击时间 若有休息，则加上休息时间即可 
剩余价值与可变资本的比例关系称为剩余价值率

《数字运算专题》

公务员考试数量关系中的第二种题型是数学运算题。这类试题一般较简短，其知识内容和原理总的来说比较简单。但因为有时间限制，所以要算得即快又准，应注意以下4个方面：一是掌握一些常用的数学运算技巧、方法和规律，尽量多用简便算法。二是准确理解和分析文字，正确把握题意，三是熟练掌握一定的题型及解题方法。四是加强训练，增强对数字的敏感程度，并熟记一些基本数字。以下我们列举一些比较典型的试题，对提高成绩很有帮助。
一、利用“凑整法”求解的题型

例题：1.513.63.86.4的值为

A.29 B.28 C.30 D.29.2

答案为A。“凑整法”是简便运算中最常用的方法，方法是利用交换律和结合律，把数字凑成整数，再进行计算，就简便多了。（注：原文符号略去，掌握方法即可）
二、利用“尾数估算法”求解的题型

例题：425＋683＋544＋828的值是

A.2488 B.2486 C.2484 D.2480

答案为D。如果几个数的数值较大，又似乎没有什么规律可循，可以先考察几个答案项尾数是否都是唯一的，如果是，那么可以先利用个位数进行运算得到尾数，再从中找出唯一的对应项。如上题，各项的个位数相加=5348=20，尾数为0，所以很快可以选出正确答案为D。
三、利用“基准数法”求解的题型

例题：1997＋1998＋1999＋2000＋2001

A.9993 B.9994 C.9995 D.9996

答案为C。当遇到两个以上的数相加，且他们的值相近时，可以找一个中间数作为基准，然后再加上每个加数与基准的差，从而求得他们的和。在该题中，选2000作为基准数，其他数分别比2000少3，少2，少1，和多1，故五个数的和为9995。这种解题方法还可以用于求几个相近数的算术平均数。
四、比例分配问题

例题：一所学校一、二、三年级学生总人数450人，三个年级的学生比例为2：3：4，问学生人数最多的年级有多少人？

A.100B.150C.200D.250

答案为C。解答这种题，可以把总数看作包括了234=9份，其中人数最多的肯定是占4/9的三年级，所以答案是200人。
五、路程问题

例题：某人从甲地步行到乙地，走了全程的2/5之后，离中点还有2.5公里。问甲乙两地距离多少公里？ A.15B.25C.35D.45

答案为B。全程的中点即为全程的2.5/5处，离2/5处为0.5/5，这段路有2.5公里，因此很快可以算出全程为25公里。
六、工程问题

例题：一件工程，甲队单独做，15天完成；乙队单独做，10天完成。两队合作，几天可以完成？　　A.5天B.6天C.7.5天D.8天

答案为B。此题是一道工程问题。工程问题一般的数量关系及结构是：工作总量／工作效率＝工作时间

我们可以把全工程看作“1”，工作要n天完成推知其工作效率为1/n,两组共同完成的工作效率为1/n11/n2,根据这个公式很快可以得到答案为6天。另外，工程问题还可以有许多变式，如水池灌水问题等等，都可以用这种思路来解题。
七、植树问题

例题：若一米远栽一棵树，问在345米的道路上栽多少棵树？

A.343B.344C.345D.346

答案为D。这种题目要注意多分析实际情况，如本题要考虑到起点和终点两处都要栽树，所以答案为346

八、 3%和3个百分点有什么区别？

有时相同，有时不同。如果是比一个数字高3%或3个百分点是一样的。例如几年我国的GDP是10万亿元，明年增长3%或3个百分点，都是增长了3000亿元。如果是比一个百分数或比例高，就有区别。例如今年的经济增长率是7%，明年比今年增长率高3个百分点，明年就是10%。如果说明年比今年增长率高3%，则明年是7.21%。

九、 四个连续自然数的积为1680，它们的和为( A )

A.26 B.52 C.20 D.28

答案为A。四个连续自然数,为两个奇数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除，选项中只有26符合要求。

十、有一份选择题试卷共6个小题，其得分标准是：一道小题答对得8分，答错得0分，不答得2分，某位同学得了20分，则他（）

A.至多答对一道题B.至少有三个小题没答C.至少答对三个小题D.答错两小题

解法：这种题用排除法很快就可算出答案(很多这种类型的题在一时不能很快算出的话最好的解决方法就是用排除法)。

A.至多答对一道题 (对1题得8分，如加上其余5题不答最多共得18分，不合是题意)

B.至少有三个小题没答(3题不答就有6分了，如答对2题就超20分了)

C.至少答对三个小题(3*8=24，马上就知不合题意)

D.答错两小题(答错2题后还有40分，心算快的话就可算出2*8+2*2=20。只有这样才能符合题意)
十一、关于“多米诺骨牌”的问题

有300张多米诺骨牌，从1——300编号，每次抽取奇数牌，问最后剩下的一张牌是多少号？

答：第256号

解题技巧：不论题中给出的牌数是多少，小于等于总牌数的2的N次方的最大值就是最后剩下的牌的序号。（例题中小于等于300的2的N次方的最大值是2的8次方，故最后剩下的一张牌是256号）

再举个例子：153张牌按1——153排序，每次抽取奇数牌，最后剩下几号？答：2的7次方等于128，故最后剩下的是128号牌）
十二、关于含“1”的页数问题。

一本300页的书中含“1”的有多少页？答：160页

解题技巧：个位上含“1”的有30页（1，11，21，……291），十位上含“1”的有30页（10，11，12，……219），百位上含“1”的有100页（100，101，……199），故100+30+30=160
总结：含“1”的页数等于总页数的1/10乘以2，再加上100。

（因为公务员考试要求速度，所以这类题目给出的数字不会太大，所以，本人只总结了1000以内的规律。）如果不是整百的数，那么，先按整百计算，再把剩下的页中含1的算出即可。两道运算题的心得，大家帮我验证一下！发此帖的目的有二：一是请大家帮忙验证一下；二是如果论坛中的朋友以前没发过此帖，不妨看一下，万一考试时真有这类题，可以节省很多时间的。（因本人语言表述能力比较差，可能大家看不懂，敬请谅解）
十三、关于数字运算的小常识和技巧

1）1~200，数字0一共出现31次。

2）1~100，21个“1”/9个“11”----的倍数。

3）1~1000，10的整数倍数总和为50500。

4）1~10，抽去一数，剩余的数平均值减少0.5，则抽掉数是（55/10-0.5*9）*10=10.

5）1~100,(含3)有11个“3”为首位数的数。

6）1~400，“1”出现20+120+20+20=180

7）甲乙丙分别隔5，9，12天进城，某天相遇，则180天一定又相遇。

8）高速路两旁每500米设标，全长400千米，需要1602个。

9）月息3%增长，第一个月的月息100元，（推理第六个月的月息115元），第六个月后，一共付了645元利息。

10）每月存一千，月息5%，半年1000*6+350*3=7050元

11）小虫爬上5米杆，10分钟，向上1米，向下0.1米，共需1小时。

12）100题，+1或-0.5，得91分，作错6题。

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《数字运算练习与精讲之四》

1、两辆卡车共载货500吨，第一辆比第二辆多载50吨，第一辆和第二辆分别载货(D)吨。

A.(265，235) B.(245，295) C.(285，215) D.(275，225)

解题思路：不必采用(500+50)÷2求第一辆载重的算法，只要根据题意快速找出和与差之数相符合者。

2、商店各以3000元卖出两件商品，其中盈亏均为20%，则该店应(D)。

A.赚500元 B.亏300元 C.持平 D.亏250元

解题思路：快速算出赚20%的商品成本应为2500元，而亏20%的商品成本肯定不只2500元，即刻排除A、C，再由亏两折算出成本为3750元，因而，750元-500元为250元。

3、今天是星期二，55×50天之后是(A)。

A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四

解题思路：从55是7的倍数减1,50是7的倍数加1，快速推出少1天。如果用55×50÷7=396余

6，也可推出答案，但较费时。

4、20位面包师傅用2小时烤出200条面包，依照这个速率，2位面包师傅花(D)小时可以烤出100条面包。

A.20 B.15 C.12 D.10

解题思路：先求出20位师傅在1小时烤出100条面包，再从20位师傅是2位师傅的10倍求出1小时的10倍即10小时。

5、考卷上的判断题做对得1分，做错倒扣1分，张某在判断题上共得6分，他应该是在10道题目中做错(B)题。

A.1 B.2 C.3 D.4

解题思路：10题答得全对得10分，做错的题不但未得分反而被扣1分，故应为做错两题。

6、48与108的最大公约数是(D)。

A.6 B.8 C.24 D.12

解题思路：∵48=2×2×3×4，108=2×2×3×3×3，∴(48,108)=2×2×3=12。

7、如果(5,7)=74，(4,6)=52，(3,5)=34，则(0,4)=(D)

A.53 B.51 C.26 D.16

解题思路：中括孤内的数依次递减 ，其和亦然，可即刻排除A、B、C。另外，也可以由答案(和)推知括弧内两个数都是平方。

8、某公司规定，凡购买1000元以上商品，可享受7折优待，今有4200元欲前往购货，可买原价格为(B)元的商品。

A.7000 B.6000 C.5500 D.5400

解题思路：把4200元分解为6个700元即可推出6000元。

9、把10个苹果分成三堆，每堆至少1个，应有(A)种分法。

A.8 B.9 C.10 D.11

解题思路：用枚举法列出，快速去掉重复的。

10、银行存款年利率为2.5%，应纳利息税20%，原存1万元1年期，实际利息不再是250元，为保持这一利息收入，应将同期存款增加到(C)元。

A.15000 B.20000 C.12500 D.30000

解题思路：补偿20%的利息税应增加25%存款，故应增加到：10000+2500=12500(元)。

11、有80份文件，甲、乙、丙3人参加处理。乙比甲多8份，但只是丙的份数的3/5，他们处理文件份数的比是(D)。

A.2:4:6 B.2:4:5 C.2:5:8 D.2:3:5

解题思路：既然文件都是单独处理的即都是整数的，那么如果三者之比的总和不能除尽80而出现分数，应当予以排除。

12、某人以八五折的优惠购买一辆自行车节省60元，他实付(D)元。

A.350 B.380 C.400 D.340

解题思路：以60÷15/100求得原价格，再扣除60元，也可以从C-D=60而快速算出。

13、某校男生人数比全校生数的5/9还少15人，女生人数比全校总数4/9还多15人，该校总生数应为(D)。

A.600 B.610 C.620 D.630

解题思路：能被9整除的即是，因为人只能是整数。