算法导论-最小生成树习题解

　　解：将这条修改了权值的边加入到T中，则T中形成环，找到这个环，然后删除环中权值最大的边。


　　解：可以让Kruskal 算法运行的更快些。由于权值均匀分布在[1,0)区间内，可以使用桶排序排序权值。这样Kruskal算法的时间复杂度为O(|E|a(|V|))。

　　　 ps: 顺便说下Kruskal和Prim算法加速问题：如果权值处于[1, |V|]之间，排序可以用计数排序，这样时间Kruskal时间复杂度为O(|E|a(|V|))。(23.2-4)。

　　　　　由于Prim算法时间主要耗费在维护优先级队列的性质上，加速的方法是使用更加复杂的数据结构，比如基数堆，斐波那契堆。(23.2-5)


　　解：假设G的最小生成树为T，新加入的顶点为v，则图G+v的最小生成树就是T+v的最小生成树(这个命题可以由上题得出)。T+v的最小生成树可以在|V|lg|V|的时间内生成。


　　解：a) 略

　　　　b) 1. 任何一棵生成树都可以由最小生成树替换k(1<= k <=v-1)条边得到。

　　　　 2. 替换k条边可以由先替换k-1条边形成一棵生成树，然后再替换一条边得到。因为如果前k-1次替换不能形成生成树，则必形成环，再替换一条边也不能形成生成树。

　　　　　 3. 如果按照 |替换边的权 - 被替换边的权| 的大小递增来替换最小生成树的k条边，则替换k-1条边形成的生成树的权值必然小于替换k条边的生成树的权值。

　　　　　 4. 从以上推论可知，次最小生成树可由替换一条边得到。

　　　c) 在最小生成树中进行深度优先遍历，max[u,v] = max{max[u,w], max[w,v]}。需要填满v*v大小的表格。时间复杂度为O(v^2)。

　　　 d) 1. 计算最小生成树O(ElgV)。

　　　　　2. 在最小生成树中计算max[u, v]， O(V^2)。

　　　　 3. 寻找满足 minimize{w[u,v] - max[u,v]} 的边(u,v), (x, y)，用边(u,v)替换边(x, y)，O(V^2)。


　　解：a) Kruskal算法

　　　　b) 每收缩一条边，顶点数减1，MST-REDUCE过程至少收缩V/2条，因此|V(G')| <= |V|/2。

　　　　c) 可以用DFS在O(E)时间内找到与所有顶点相连的最小权边，即在O(E)时间内找到需要收缩的边，UNION, FIND-SET的次数不超过3*E，使用按秩合并和路径压缩来实现并查集，可以在O(E)时间内操作，总时间为O(E)。

　　 d) 每个阶段的时间都为O(E)，总时间O(kE)。

　　　 e) 使用斐波那契实现Prim算法, 总体运行时间为(kE + V'lgV')，由于MST-REDUCE运行一次，顶点数至少减少一半，故k次后,V' <= ((1/2)^k)V。 当 k = lglgV时，总时间为O(ElglgV)。

　　　 f) 此时有 ElglgV < VlgV，计算得 E < VlgV/(lglgV)。


　　解：a) 假设最小生成树不是瓶颈树，设最小生成树T的最大权边为e，则存在一棵瓶颈树Tb，其所有的边的权值小于w(e)。删除T中的e，形成两棵数T', T''，用Tb中连接T', T''的边连接这两棵树，得到新的生成树，其权值小于T，与T是最小生成树矛盾。

　　　　b) 删除所有权值大于b的边，然后DFS看图是否连通。

　　　　c) 1. 取权重的中位数m。

　　　　　 2. 利用c)中过程检查瓶颈生成树的值v与m关系。 如果v > m，则利用MST-REDUCE过程收缩所有权不大于m的边，然后对重新生成的图重复1， 2；如果v < m，删除权值大于m的边，重复1，2；如果 v = m，则可用添加边不形成环的方式找到瓶颈树。