12个球用天平称3次的问题

12个球，其中有1个和其他11个不一样，给你一个天平，称3次，找出不一样的那个

   这是个老掉牙的经典问题，在刘飞提示下我想出来了解法。这次挑战一下能否用最好的方式把解法描述清楚。

记号：

    12个球编号为1、2、3……12

    如果1号球可能轻，记为1L；如果1号球可能重，记为1H；可能轻可能重记为1LH。

    天平左边轻记为 < ；天平右边轻记为 >； 平衡记为 ==

 标准重量的球记为0

初始状态：

    1LH，2LH，3LH，……12LH     共24种可能性

试验：

    把6个球放在天平左边，6个球放在天平右边。假设 <。那么我们获得了状态：

        1L、2L、3L、4L、5L、6L、7H、8H、9H、10H、11H、12H。

    状态从24个一下子减少到12个。相当于二分法。猜想：如果这样做下去，24->12->6->3->1。共需要称4次。经过推理这样做确实没有希望。

    试试另一种方法，把12个球分三组，1~4，5~8，9~12，前两组上秤：

    <：  1L、2L、3L、4L、5H、6H、7H、8H

    ==： 9LH、10LH、11LH、12LH

    可以看到，无论是否平衡，都得到了8种状态。一下子减少了2/3。猜想：此问题正好可以实现“三分法”，24->8->3->1。认准方向就可以大胆去试验了。

    多啰嗦一句：如果1L在左边，但是左边重了，因为不同重量的球只有一个，与1L矛盾，1L肯定不成立，这样就排除了1L。

 

 

解法：
第一次上秤，从24种状态到8种状态：

    把12个球分三组，1~4，5~8，9~12，前两组上秤：

    <：  1L、2L、3L、4L、5H、6H、7H、8H

    ==： 9LH、10LH、11LH、12LH

    都符合8种状态，pass。

 

第二次上秤，从8种状态到3种状态：

    根据第一次的结果，8种状态有两种组合方式：1L、2L、3L、4L、5H、6H、7H、8H；另一种1LH、2LH、3LH、4LH。（8个球不能被三整除，添一个标准球0来尝试即可。）

    ①从1L、2L、3L、4L、5H、6H、7H、8H 称一次简化到3种状态

     分三组：1L、5H、0;     2L、3L、7H;    6H、4L、8H。前两组上秤

    >：5H、2L、3L

    <：1L、7H

    ==：6H、4L、8H

    ②从1LH、2LH、3LH、4LH 称一次简化到3种状态

      分3组：1LH、0；    2LH、3LH；      4LH、0。前两组上秤

    >：1H、2L、3L

    ==：4LH

    <：1L、2H、3H

    都符合3种状态，pass。

 

第三次上秤，从3种状态到1种状态：
 ①1L、2L、3H，两个L比较即可。

 ②1H、2H、3L，两个H比较即可。

 ③1LH，和0比较即可。

 都能得到1种状态，答案ok。

 

 

后记：

    天才遇到难题可以直接上，像我这种平庸的人得分几步走：

     1、设计合适的记号描述问题。

     2、找到题目的切入点，发现本质。这道题的本质就是意识到“三分法”的存在。

     3、不好表述的时候，直接抽出来变成“子问题”，和函数一样。比如本文中球的编号为了方便每次称都是从1开始的。