【容斥原理】能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k
+ 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

【数据规模和约定】

对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

能量采集。NOI2010第一试第一题

朴素方法在代码注释部分。原点到点(i,j)之间穿过的点的总数（除了原点，包括(i,j)）总共是(n|i)*(m|i)。

因此，对于任意一个点(i,j)，代价为2*((n|i)*(m|i)-1)+1，即为2(n|i)(m|i)-1。（听说到这里就可以用线性规划了，WZZ不给力，没给大家讲明白）

然后枚举每一个点就行了。时间复杂度为O(nm)。

优化方法，利用容斥原理。

考虑到答案主要是和GCD的数值有关，我们改变枚举对象，枚举GCD(i,j)。

最后答案为∑(f[i](2*i-1))|i∈[1,min(n,m)]

然后就考虑如何维护f[i]。

因为f[i]表示横纵坐标最大公约数为i的点的数量，

因此我们考虑用容斥原理。

f[i]=(n|i)*(m|i)-(∑f[i*j]|j∈[2,(min(n,m)|i)])

一开始我纠结不清楚方程是如何的。最后恍然大悟。。这不是倒着推吗。。。。。

using std::cout;
using std::cin;

typedef long long ll;

ll n;ll m;
ll ans = 0;
ll f[100010];

#define MIN(a,b) (a<b?a:b)

inline ll gcd(ll i,ll j)
{
while (j)
{
ll tmp = j;
j = i%j;
i = tmp;
}
return i;
}
/*
int main()
{
freopen("energy.in","r",stdin);
freopen("energy.out","w",stdout);
cin >> n >> m;
for (long i=1;i<n+1;i++)
{
for (long j=1;j<m+1;j++)
{
ans += (gcd(i,j)<<1)-1;
}
}
cout << ans;
return 0;
}
*/

int main()
{
freopen("energy.in","r",stdin);
freopen("energy.out","w",stdout);
cin >> n >> m;
ll gcdnm = gcd(n ,m);
for (ll i=MIN(n,m);i>0;i--)
{
f[i] = (n/i)*(m/i);
for (ll j=2;i*j<MIN(n,m)+1;j++)
f[i] -= f[i*j];

}
ll ans = 0;
for (ll i=1;i<MIN(n,m)+1;i++)
{
ans += f[i]*((i<<1)-1);
}
cout << ans;
return 0;
}