反正切函数的应用解题报告
2012-03-30 08:29
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反正切函数可展开成无穷级数,有如下公式
(其中0 <= x <= 1) 公式(1)
使用反正切函数计算PI是一种常用的方法。例如,最简单的计算PI的方法:
PI=4arctan(1)=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...) 公式(2)
然而,这种方法的效率很低,但我们可以根据角度和的正切函数公式:
tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] 公式(3)
通过简单的变换得到:
arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] 公式(4)
利用这个公式,令p=1/2,q=1/3,则(p+q)/(1-pq)=1,有
arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan[(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)]=arctan(1)
使用1/2和1/3的反正切来计算arctan(1),速度就快多了。
我们将公式(4)写成如下形式
arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c)
其中a,b和c均为正整数。
我们的问题是:对于每一个给定的a(1 <= a <= 60000),求b+c的值。我们保证对于任意的a都存在整数解。如果有多个解,要求你给出b+c最小的解。
Input
输入文件中只有一个正整数a,其中 1 <= a <= 60000。
Output
输出文件中只有一个整数,为 b+c 的值。
Sample Input
Sample Output
(其中0 <= x <= 1) 公式(1)
使用反正切函数计算PI是一种常用的方法。例如,最简单的计算PI的方法:
PI=4arctan(1)=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...) 公式(2)
然而,这种方法的效率很低,但我们可以根据角度和的正切函数公式:
tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] 公式(3)
通过简单的变换得到:
arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] 公式(4)
利用这个公式,令p=1/2,q=1/3,则(p+q)/(1-pq)=1,有
arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan[(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)]=arctan(1)
使用1/2和1/3的反正切来计算arctan(1),速度就快多了。
我们将公式(4)写成如下形式
arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c)
其中a,b和c均为正整数。
我们的问题是:对于每一个给定的a(1 <= a <= 60000),求b+c的值。我们保证对于任意的a都存在整数解。如果有多个解,要求你给出b+c最小的解。
Input
输入文件中只有一个正整数a,其中 1 <= a <= 60000。
Output
输出文件中只有一个整数,为 b+c 的值。
Sample Input
1
Sample Output
5
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define I64 __int64 int main() { I64 a; while(scanf("%I64d",&a)!=EOF) { I64 i; for(i=a;;i--) { if((a*a+1)%i==0) { printf("%I64d\n",i+(a*a+1)/i+2*a); break; } } } return 0; }
i是小于a的,所以从a开始查找,题目要求找最小值,我好像只是单纯的找出数而已,其实这是个典型的数学问题,通过(1/a)=((1/b)+(1/c))/(1-(1/b)*(1/c)),又因为b>a,c>a,所以可设c=a+n,b=a+m,解得a*a+1=m*n;m+n+a+a即为b+c。所以就是求m+n的最小值。
以下还有个c++的代码,可以参考一下,因为这个的算法好一点,起码时间少了1/2;#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define I64 __int64 int main() { I64 a; while(scanf("%I64d", &a)!=EOF) { I64 m, n; for(I64 i = a; ; --i) { if(!((a * a + 1) % i)) { m = i; n = (a * a + 1) / m; break; } } printf("%I64d\n", 2 * a + m + n); } return 0; }
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