【动态规划】最大m子段和

给定n个数求这n个数划分成互不相交的m段的最大m子段和。

　　经典的动态规划优化的问题。设f(i, j)表示前i个数划分成j段，且包括第i个数的最大m子段和，那么有dp方程：

　　　　f(i, j) = max { f(i - 1, j) + v[i], max {f(k, j - 1) + v[i]}(k = j - 1 ... i - 1) }

　　也就是说第i个数要么自己划到第j段，要么和前一个数一起划到第j段里面，转移是O(n)的，总复杂度O(n * n * m)。

　　可以引入一个辅助数组来优化转移。设g(i, j)表示前i个数划分成j段的最大子段和（注意第i个数未必在j段里面），那么递推关系如下：

　　　　g(i, j) = max{g(i - 1, j), f(i, j)}，分是否加入第i个数来转移

　　这样f的递推关系就变成：

　　　　f(i, j) = max{f(i - 1, j), g(i - 1, j - 1)} + v[i]，转移变成了O(1)

　　这样最后的结果就是g
[m]，通过引入辅助数组巧妙的优化了转移。实现的时候可以用一维数组，速度很快。

附HDU 1024题目代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1000010,INF=0x3fffffff;
int f
,g
,a
;
int max_sum(int m,int n)
{
int i,j,t;
for(i=1;i<=n;i++)
{
t=min(i,m);
for(j=1;j<=t;j++)
{
f[j]=max(f[j],g[j-1])+a[i];
g[j-1]>?=f[j-1];
}
g[j-1]>?=f[j-1];
}
return g[m];
}

int main()
{
int m,n;
while(scanf("%d%d",&m,&n)==2&&m&&n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i]=g[i]=-INF;
scanf("%d",&a[i]);
}
printf("%d/n",max_sum(m,n));
}
return 0;
}