多边形面积和点串序列判断

下面讲解以上图逆时针序列三角形ABC为例，进行推导和讲解：

A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)

S为三角形ABC的面积，Sm1为直角梯形AA'B'B的面积，Sm2为直角梯形BB'C'C的面积，Sn1为直角梯形AA'C'C的面积

容易得知：S =-(Sm1+Sm2) + Sn1

-Sm1 = (x1-x2)(y1+y2)/2 = (x1*y1+x1*y2-x2*y1-x2*y2)/2

-Sm2 = (x2-x3)(y2+y3)/2 = (x2*y2+x2*y3-x3*y2-x3*y3)/2

Sn1 = (x3-x1)(y1+y3)/2 = (x3*y1+x3*y3-x1*y1-x1*y3)/2

S = [(x1*y2-x2*y1)+(x2*y3-x3*y2)+(x3*y1-x1*y3)]/2

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推导到一般，算法描述：

令：n条边的多边形的点串数组为：P[n+1] = {p=(x,y)}，规定：P
= P[0].

则该多边形的面积为：



若S>0，则点串为逆时针存放

若S<0，则点串为顺时针存放

若S=0，无法判断点串的序列方向

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注意：多边形必须满足以下条件才可使用该算法公式计算面积。

（1）凸多边形



（2）向x轴投影后的顶点的先后顺序与原形点顺序保持一致

如下图：从最小X值M点和最大X值N点将多边形分成两半，将两条折线段命名为：MN(上) MN(下)

MN(上) MN(下)上的各个形点分别向x轴做投影；

若MN(上) MN(下)投影后的顶点的先后顺序与折线段形点顺序均保持一致，则该多边形可使用该方法计算面积。



（3）向y轴投影后的顶点的先后顺序与原形点顺序保持一致

如下图：从最小Y值N点和最大Y值M点将多边形分成两半，将两条折线段命名为：MN(左) MN(右)

MN(左) MN(右)上的各个形点分别向y轴做投影；

若MN(左) MN(右)投影后的顶点的先后顺序与折线段形点顺序均保持一致，则该多边形可使用该方法计算面积。



（4）不满足（2）（3）条件的凹多边形不能直接使用该公式计算面积（如下图）



对于求任意多边形面积通用的做法是：

a. 首先将多边形进行Delaunay三角剖分

b. 然后求各个三角形的面积

c. 最后对这些面积进行求和

例如可将（4）中的多边形先进行三角剖分：