整数划分问题

整数划分问题是一个经典问题，几乎在讲算法设计的书中都会讲，下面把主要的思想给总结下。

所谓整数划分，就是将一个正整数n划分为一系列的正整数之和，如将n可以划分为：{m1,m2,m3,m4,m5..mk}(1=<k<=n),则{m1,m2,m3,m4,m5..mk}就是n的一个整数划分。下面我们要做的是，要找到所有的n的正整数划分。

我们该如何找出所有的划分呢?

我们可以先来看看整数划分的规律：

譬如正整数：6

划分情况如下：

6

5+1

4+2 4+1+1

3+3 3+2+1 3+1+1+1

2+2+2 2+2+1+1 2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1

观察第一列的数字发现，我们划分过程中总是按照比6小1，小2，小3，小k，的顺序来依次排列它的划分，第一列找到比6小k的数之后，然后我们再排列剩下的数字。

所以我们只需要找到那些比6小的数字开头的，这一行的排列的数目，然后把这些行加起来就是所有的结果，注意看每一行，划分的特征是，所有的数字都不超过第一列的那个数字，所以我们可以进行如下的尝试。

我们试图这样去思考这个问题：

如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n 的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
例如当n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
so，该问题变得清晰了，求出n的所有划分个数，即f(n, n)。
下面我们考虑求f(n,m)的方法;
递归法

先讨论m，n之间的大小关系：

a.当n==1时，m无论为何值，f（n,m）=1

b.当m==1时，n无论为何值，f（n，m）=1

c.当n<m时，由于排列中没有负数，m多出n的数，没有了实际意义，其实本质上 还是等于f（n,n）。

d.当m==n时，可以分两种情况考虑

1.排列中包含n，则f（n，m）=1

2.排列中不包含n，则问题转化为求f（n，m-1）

根据组合数学中加法规则，应将上述两种情况加起来

故此种情况下f（n,m）=1+f(n,m-1);

e.当n>m时，应分两种情况考虑：

1.排列中包含m，则排列为{m,x1,x2,x3,xk},其中{x1,x2,x3,xk}之和为n-m，

我们注意到x1.x2,x3,xk,是不超过m的，所以对于后面这些之和为n-m的元素来 说，它们的排列数目应该为f（n-m，m）

2.排列中不包含m，则问题转化为f（n,m-1）

根据组合数学中的加法原则，应将上述情况加起来：

故此情况下的f（n,m）=f(n-m,m)+f(n,m-1);



综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中a和b属于回归条件，c和d属于特殊情况，将会转换为情况e。而情况e为 通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)

f(n, n); (n<m)

1+ f(n, m-1); (n=m)

f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)



因此我们可以给出求出f(n, m)的递归函数代码如下：

这个是用c++实现的

//整数划分
#include<iostream>
using namespace std;
int Partition(int n,int m){
    if(n==1||m==1)  return 1;
    if(n<m)         return Partition(n,n);
    if(n==m)        return Partition(n,m-1)+1;
    if(n>m)         return Partition(n,m-1)+Partition(n-m,m);
    }
int main(){
    int n,m;
    while(cout<<endl<<"please input two int:"<<endl&&~scanf("%d%d",&n,&m))
        cout<<"The count of partition intger "<<n<<" is: "<<Partition(n,m)<<endl;
        
    }