营救皮卡丘

营救皮卡丘

【问题描述】

皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了！这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅！为了皮卡丘，也

为了正义，小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。

火箭队一共有N 个据点，据点之间存在M 条双向道路。据点分别从1 到N 标号。小智一行K 人从真

新镇出发，营救被困在N 号据点的皮卡丘。为了方便起见，我们将真新镇视为0 号据点，一开始K 个人都

在0 号点。

由于火箭队的重重布防，要想摧毁K 号据点，必须按照顺序先摧毁1 到K-1 号据点，并且，如果K-1

号据点没有被摧毁，由于防御的连锁性，小智一行任何一个人进入据点K，都会被发现，并产生严重后果。

因此，在K-1 号据点被摧毁之前，任何人是不能够经过K 号据点的。

为了简化问题，我们忽略战斗环节，小智一行任何一个人经过K 号据点即认为K 号据点被摧毁。被摧

毁的据点依然是可以被经过的。

K 个人是可以分头行动的，只要有任何一个人在K-1 号据点被摧毁之后，经过K 号据点，K 号据点就

被摧毁了。显然的，只要N 号据点被摧毁，皮卡丘就得救了。

野外的道路是不安全的，因此小智一行希望在摧毁N 号据点救出皮卡丘的同时，使得K 个人所经过的

道路的长度总和最少。

请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧！

【输入格式】

输入文件rescue.in 的第一行包含三个正整数N，M，K。表示一共有N+1 个据点，分别从0 到N 编号，

以及M 条无向边。一开始小智一行共K 个人均位于0 号点。

接下来M 行，每行三个非负整数，第i 行的整数为Ai，Bi，Li。表示存在一条从Ai 号据点到Bi 号据点

的长度为Li 的道路。

【输出格式】

输出文件rescue.out 仅包含一个整数S，为营救皮卡丘所需要经过的最小的道路总和。

【样例输入】

3 4 2

0 1 1

1 2 1

2 3 100

0 3 1

【样例输出】

3

【样例说明】

小智和小霞一起前去营救皮卡丘。在最优方案中，小智先从真新镇前往1 号点，接着前往2 号据点。

当小智成功摧毁2 号据点之后，小霞从真新镇出发直接前往3 号据点，救出皮卡丘。

【数据规模】

对于10%的数据满足K = 1，且N = 3，小智将独自前去营救皮卡丘；

对于20%的数据满足K ≤ 3，且N ≤ 20，被小智单挑剿灭的火箭队加强了防御，增加了据点数；

对于40%的数据满足K ≤ 3，且N ≤ 100，面对加强的防御，小智拉来了好朋友小霞和小刚，一同前去

营救；

对于另外20%的数据满足任意一对据点之间均存在道路，并且对任意的0 ≤ X,Y,Z ≤ N，有不等式L(X,Z)≤ L(X,Y) + L(Y,Z)成立；

对于100%的数据满足N ≤ 150, M ≤ 20 000, 1 ≤ K ≤ 10, Li ≤ 10 000, 保证小智一行一定能救出皮卡丘。

至于为什么K ≤ 10，你可以认为最终在小智的号召下，小智，小霞，小刚，小建，小遥，小胜，小光，

艾莉丝，天桐，还有去日本旅游的黑猫警长，一同前去大战火箭队。

问题等价于将原序列拆成k个子序列，然后以一定的顺序解锁

首先要解决的问题是只能走前k个点时，两个点之间的最短路径为多少

这个点比较少，所以用floyd，怎么搞呢

用floyd[k]表示考虑前k个点的距离矩阵

那么floyd[k-1]与floyd[k]的区别就是多了一个点k

先更新一下k与其他点的距离，在把它当成断点n^2更新一下两点最短路经过k的距离就好了

预处理完成，来用费用流求解

将一个据点i拆成两个点Ai和Bi，

A0向B0连流量上界为k无费用的边，

其他之间连一条流量上界下界都为1无费用的边

从每个Bi向编号比i大的Aj连边，流量为1，费用为folyd[j][i,j]

然后把图转换一下就可以用费用流求解了

program rescue;
const
s=500;
e=501;
q=498;
p=499;
var
ans,max,inf,o,tot,n,m,k,i,j,u,v,c:longint;
sq:array [0..151,0..151] of longint;
floyd:array [0..151,0..151,0..151] of longint;
last,dis,root:array [0..501] of longint;
dl,next,point,cost,flow:array [0..30001] of longint;

function anti (now:longint):longint;inline;
begin
if now and 1 = 1 then exit(now+1)
else exit(now-1);
end;

function min (a,b:longint):longint;inline;
begin
if a<b then exit(a)
else exit(b);
end;

procedure connect (u,v,f,c:longint);inline;
begin
inc(tot);
point[tot]:=v;
flow[tot]:=f;
cost[tot]:=c;
next[tot]:=root[u];
root[u]:=tot;
end;

function mcmf :longint;
begin
ans:=0;
repeat
tot:=0;
fillchar(dis,sizeof(dis),63);
dis[s]:=0;
i:=0;
dl[0]:=s;
while i<=tot do
begin
k:=root[dl[i]];
while k<>0 do
begin
if (flow[k]>0)and(dis[point[k]]>dis[dl[i]]+cost[k]) then
begin
inc(tot);
dl[tot]:=point[k];
dis[point[k]]:=dis[dl[i]]+cost[k];
last[point[k]]:=k;
end;
k:=next[k];
end;
inc(i);
end;
if dis[e]=inf then break;
max:=maxlongint;
i:=e;
while i<>s do
begin
max:=min(max,flow[last[i]]);
i:=point[anti(last[i])];
end;
ans:=ans+max*dis[e];
i:=e;
while i<>s do
begin
flow[last[i]]:=flow[last[i]]-max;
flow[anti(last[i])]:=flow[anti(last[i])]+max;
i:=point[anti(last[i])];
end;
until false;
exit(ans);
end;

begin
assign(input,'rescue.in');
reset(input);
assign(output,'rescue.out');
rewrite(output);
read(n,m,o);
fillchar(sq,sizeof(sq),63);
for i:=1 to n do
sq[i,i]:=0;
for i:=1 to m do
begin
read(u,v,c);
sq[u,v]:=min(sq[u,v],c);
sq[v,u]:=min(sq[v,u],c);
end;
fillchar(floyd[0],sizeof(floyd[0]),63);
inf:=floyd[0,0,0];
floyd[0,0,0]:=0;
for k:=1 to n do
begin
floyd[k]:=floyd[k-1];
floyd[k,k,k]:=0;
for i:=0 to k-1 do
begin
floyd[k,i,k]:=sq[i,k];
floyd[k,k,i]:=sq[k,i];
end;
for i:=0 to k-1 do
for j:=0 to k-1 do
begin
floyd[k,i,k]:=min(floyd[k,i,k],floyd[k,i,j]+floyd[k,j,k]);
floyd[k,k,i]:=floyd[k,i,k];
end;
for i:=0 to k-1 do
for j:=0 to k-1 do
floyd[k,i,j]:=min(floyd[k,i,j],floyd[k,i,k]+floyd[k,k,j]);
end;
connect(p,q,maxlongint div 10,0);
connect(q,p,0,0);
connect(q,0,maxlongint div 10,0);
connect(0,q,0,0);
connect(0,1,o,0);
connect(1,0,0,0);
for i:=1 to n do
begin
connect(s,2*i+1,1,0);
connect(2*i+1,s,0,0);
connect(2*i,e,1,0);
connect(e,2*i,0,0);
connect(2*i+1,p,1,0);
connect(p,2*i+1,0,0);
end;
for i:=0 to n do
for j:=i+1 to n do
begin
connect(2*i+1,2*j,1,floyd[j,i,j]);
connect(2*j,2*i+1,0,-floyd[j,i,j]);
end;
writeln(mcmf);
close(input);
close(output);
end.