poj 1637 求混合图的欧拉回路

网上摘的一些知识点

基础知识

欧拉回路是图G中的一个回路，经过每条边有且仅一次，称该回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，简称E图。

无向图中存在欧拉回路的条件：每个点的度数均为偶数。

有向图中存在欧拉回路的条件：每个点的入度=出度。

欧拉路径比欧拉回路要求少一点：

无向图中存在欧拉路径的条件：每个点的度数均为偶数或者有且仅有2个度数为奇数的点。

有向图中存在欧拉路径的条件：除了2个点外，其余的点入度=出度，且在这2个点中，一个点的入度比出度大1，另一个出度比入度大1。

欧拉路径的输出：经典的套圈算法。

下面来重点讲讲混合图的欧拉回路问题。

混合图就是边集中有有向边和无向边同时存在。这时候需要用网络流建模求解。

建模：

把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。 因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。

好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。

现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。

首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同）。
之后，察看从S发出的所有边是否满流。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。欧拉回路是哪个？察看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

这道题算是经典题目了吧

View Code

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int MAX=250;
const int INF=1000000000;
struct
{
int v,c,next;
}edge[1000000];
int E,head[MAX];
int gap[MAX],cur[MAX];
int pre[MAX],dis[MAX];
void add_edge(int s,int t,int c,int cc)
{
edge[E].v=t; edge[E].c=c;
edge[E].next=head[s];
head[s]=E++;
edge[E].v=s; edge[E].c=cc;
edge[E].next=head[t];
head[t]=E++;
}
int min(int a,int b){return (a==-1||b<a)?b:a;}
int SAP(int s,int t,int n)
{
memset(gap,0,sizeof(gap));
memset(dis,0,sizeof(dis));
int i;
for(i=0;i<n;i++)cur[i]=head[i];
int u=pre[s]=s,maxflow=0,aug=-1,v;
gap[0]=n;
while(dis[s]<n)
{
loop:    for(i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
v=edge[i].v;
if(edge[i].c>0&&dis[u]==dis[v]+1)
{
aug=min(aug,edge[i].c);
pre[v]=u;
cur[u]=i;
u=v;
if(u==t)
{
for(u=pre[u];v!=s;v=u,u=pre[u])
{
edge[cur[u]].c-=aug;
edge[cur[u]^1].c+=aug;
}
maxflow+=aug;
aug=-1;
}
goto loop;
}
}
int mindis=n;
for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
v=edge[i].v;
if(edge[i].c>0&&dis[v]<mindis)
{
cur[u]=i;
mindis=dis[v];
}
}
if((--gap[dis[u]])==0)break;
gap[dis[u]=mindis+1]++;
u=pre[u];
}
return maxflow;
}
int in[MAX];
int main()
{
int t,i,j,a,b,c,m,n;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
memset(head,-1,sizeof(head));
E=0;
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(in,0,sizeof(in));
for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
in[a]--;in[b]++;
if(!c) add_edge(a,b,1,0);
}
bool ok=true;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(in[i]&1)
ok=false;
}
int s=n+1,t=n+2;
int sum=0;
if(ok)
{
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(in[i]<0)
{
sum+=(-in[i])>>1;
add_edge(s,i,(-in[i])>>1,0);
}
else add_edge(i,t,in[i]>>1,0);
}
ok=SAP(s,t,n+2)==sum;
}
if(ok) printf("possible\n");
else printf("impossible\n");
}
return 0;
}